Calcula

Question

Lo hizo con la fuerza bruta y tiene 1024.

¿Qué es el método más rápido de solucionar esto?

Answer 1

Desde cualquier momento de elegir un número impar de elementos de un conjunto de once, que dejó atrás un número par de elementos, $$ \sum_{k\text{ impar}} \binom{11}{k} = \sum_{k\text{ incluso}} \binom{11}{k} $$

Por lo que el número de formas de seleccionar un subconjunto de los once elementos, es dos veces el número de maneras de elegir un número impar de elementos.

Pero para elegir cualquier subconjunto, cada elemento, ya sea en nuestra salida del subconjunto elegido: De da $2^{11}$.

Por lo que el número de maneras de elegir un número impar de elementos es $$\frac12\cdot 2^{11} = 2^{10} = 1024$$

P. S. Este razonamiento no funciona cuando el conjunto principal tiene un número par de elementos. Pero la propiedad de que el número de maneras de elegir un número impar de elementos que la mitad del número total de subconjuntos aún se mantiene. Puede usted ver por qué?

Answer 2

No sé si este es el método más rápido, pero puede utilizar dos veces el teorema del binomio: $$2^{11}=(1+1)^{11}=\sum_{i=0}^{11}\binom{11}{i}$$ and $% $ $0=(1-1)^{11}=\sum_{i=0}^{11}\binom{11}{i}(-1)^i.$al restar estos dos resultados y dividiendo por dos, obtenemos el resultado.

Answer 3

Desde $\binom{11}{1}=\binom{11}{10},\binom{11}{3}=\binom{11}{8}$ y así sucesivamente, $$ \binom{11}{1}+\binom{11}{3}+\ldots+\binom{11}{11} = \binom{11}{10}+\binom{11}{8}+\ldots+\binom{11}{0} $ $ así que tanto los términos son medio la suma $\binom{11}{0}+\binom{11}{1}+\binom{11}{2}+\ldots+\binom{11}{11}=2^{11}$, es decir, $2^{10}=\color{red}{1024}$.

Answer 4

Generalmente romper ${n+1\choose k}, k\le n$ ${n\choose k-1}+{n\choose k}$. Este es uno de los trucos primeros que aprendes de probablemente cada bebé probabilidad libro de texto. Para tu problema:

$${11\choose 1}+{11\choose 3}+...+{11\choose 9}+{11\choose 11}=\left({10\choose 0}+{10\choose 1}\right)+\left({10\choose 2}+{10\choose 3}\right)+...+\left({10\choose 8}+{10\choose 9}\right)+{10\choose 10}=(1+1)^{10}$$

Reconociendo ${11\choose 11}={10\choose 10}$.

Answer 5

Es posible que recoginize ${m \choose n}$ como el coeficiente del término de $x^n$ de la expansión binomial de $(x+1)^m$

Por lo tanto es igual la suma de todos los coeficientes de

$(1+1)^m$

En el ejemplo anterior sólo tiene los coeficientes impares.

${11 \choose n} ={11 \choose 11-n}$

Para cada coeficiente impar tiene una contraparte simétrica incluso.

$\sum_\limits {i=0}^{5} {11\choose 2i+1} = \frac 12 \sum_\limits {i=0}^{11} {11\choose i} = 2^{10}$