mapa lineal sobreyectiva de R a R²

Question

Cómo rápidamente y claramente discutir o mostrar que es o no es un lineal sobreyectiva mapa $\phi$

$\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}²$

Answer 1

Suponiendo que te refieres a un $\mathbb{R}$-mapa lineal, se puede argumentar como sigue: que $v = \varphi(1)$. Entonces para todos los $\alpha \in \mathbb{R}$, $\varphi(\alpha) = \varphi(\alpha \cdot 1) = \alpha \varphi(1) = \alpha v$. Así la imagen de $\varphi$ consiste de todos los múltiplos escalares del vector $v$. Este es el origen si $v = 0$ y una línea a través del origen de otra manera. Claramente no es el plano entero: por ejemplo, si $v = (x,y)$ no es cero, entonces $(-y,x)$ no es de la forma $\alpha (x,y)$ para cualquier $\alpha \in \mathbb{R}$.

Answer 2

Para una transformación lineal en este caso tenemos: 1 = dim R = dim ImT + dim KerT. Entonces dim ImT es 0 o 1.