¿Es el Keno un juego justo?

Question

Este es un problema de palabras muy interesante que encontré en un viejo libro de texto mío. Sé que tiene algo que ver con la probabilidad, que tal vez produce las pruebas más cortas y sencillas, pero aparte de eso, el libro de texto no da ninguna pista y no estoy seguro de cómo abordarlo. Cualquier pista de orientación o ayuda sería muy apreciada. Gracias de antemano :) De todos modos, aquí va el problema:

En el juego del Keno, de los números $1-80$ un jugador elige tres, y hace un $\$ 1$ apuesta.

Luego se sortean veinte números.

Si sus tres números están entre los veinte, se le paga $\$ 42$ (ganancia de $\$ 41$ ).

Si dos de sus números están entre los veinte, se le paga $\$ 1$ (punto de equilibrio).

Si menos de dos de sus números están entre los veinte, pierde.

¿Qué posibilidades tiene?

¿Cómo se puede convertir esto en un juego limpio?

Mis pensamientos:

La entrada de un jugador puede ser cualquiera de $C(80,3)$ combinaciones $= 82160$

De la $20$ números hay $C(20,3)$ combinaciones ganadoras $= 1140$

$\frac{1140}{82160} = .0138753 =$ Probabilidad de tener tres números ganadores.

Pero ahora estoy atascado.

Answer 1

P(ganar) = P(elegir 3 números correctos) = ${20\choose 3}/{80\choose 3} = \frac{57}{4108}$

P(break even) = P(elegir 2 correctas y 1 incorrecta #) = ${20\choose 2}\cdot{60\choose 1}/{80\choose 3} = \frac{570}{4108} $

P(perder) = $1 - \frac{57}{4108} - \frac{570}{4108} = \frac{3481}{4108}$

Dejemos que x dólares sea el red ganancias si se adivinan los 3 números correctamente.

Para un juego justo, las ganancias netas = 0 = $\frac{57x}{4108} - \frac{3481}{4108}$ , lo que da como resultado

x = $\frac{3481}{57}, \approx 61.07 dollars $ , (pagó 62,07 dólares)

Answer 2

Esto es lo que creo que podría ser correcto...

$P$ (ganar) = La probabilidad de que todos $3$ de sus números están entre los $20$ elegido es como usted dijo = $20c3/80c3 = 0.01388$

$P$ (break even)= (no estoy seguro de que esto sea correcto) La probabilidad de que 2 de sus números tengan éxito = ( $20c2 \times 20c1 \times3c2)/80c3$ $=$ $0.1388$

La forma en que calculé esto fue porque hay 20c2 maneras de elegir 2 combinaciones correctas, y luego 20c1 maneras de elegir un número incorrecto, pero hay 3c2 maneras de que todo este evento ocurra de todos modos (correcto correcto incorrecto, correcto incorrecto, incorrecto correcto)

$P$ (perder) = 1- ( $0.01388+0.1388$ ) $= 0.8474$

Así que, si dice $100$ apuestas, cada una de ellas $\$ 1 $, on average $ 84.74 $ of the bets will be lost, thus $\$84.74$ se pierde.

Por término medio $13.88$ Las apuestas no tendrán un resultado neto.

De media, $1.388$ apuestas resultará en una ganancia de $41 dólares.

Así que, resultado neto = $41 \times 1.388 - 84.74 = - \$ 27,83$ dólares.

Así que este juego no es justo.

Para que este juego sea justo, resolvemos esta ecuación:

$1.388x-84.74=0$

$x=61.05 $

Así, para que el juego sea justo, hay que ganar $\$ 61.05 $ (be paid $\$62.05$ ) si todos $3$ de sus números vienen en los elegidos $20$ .