No, no es malo para escribir eso, ustedes están en el lugar de la marca; por lo tanto, su conclusión es correcta. Su ejemplo tiene una interesante generalización más allá de $O(3)$ y, de hecho, beyone Mentira grupos como las siguientes es verdadera para todos los grupos topológicos. Para un grupo topológico $\mathfrak{G}$, la "identidad " componente" $\mathfrak{G}_\mathrm{id}$ (es decir, el componente conectado del grupo con la identidad) es la de siempre:
- Clopen (abierto y cerrado a la vez), por lo tanto, por la conexión argumento, el grupo total $\mathfrak{G}$ está conectado si y sólo si $\mathfrak{G}_\mathrm{id}$ es una adecuada subconjunto de $\mathfrak{G}$;
- Un subgrupo normal de $\mathfrak{G}$, por lo tanto los componentes conectados de $\mathfrak{G}$ son, precisamente, $\mathfrak{G}_\mathrm{id}$ y su cosets.
Ver la discusión como Teorema de 9.31 en mi sitio web aquí de esta situación. El mío es un recuento de este hábil poco de prueba de que encontré hace mucho tiempo en la
Sagle, A. A. y Walde, R. E., "Introducción a la Mentira de Grupos y Álgebras de Lie", Academic Press, Nueva York, 1973. §3.3
Esto es ampliamente conocido, por CIERTO, pero es una pequeña joya de una prueba, mostrando cuán poderoso es el de la conectividad argumento. Todavía disfruto de la lectura, justo como me gusta escuchar a "Caminar Como un Egipcio" (para mí, ellos vienen de la misma época de la vida!)
En tu ejemplo, $\mathfrak{G}=O(3)$, la identidad componente es el más pequeño de la Mentira de grupo que contiene a $\exp(\mathfrak{g})$ donde $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(\mathfrak{G}) = \mathfrak{so}(3)$; de hecho, en este caso compacto, $\mathfrak{G}_\mathrm{id}=\exp(\mathfrak{g})$ es el conjunto de componentes conectados (en noncompact grupos, por ejemplo, $SL(2,\mathbb{C})$, la identidad de los componentes puede ser estrictamente mayor que $\exp(\mathfrak{g})$). $\mathfrak{so}(3)$ es, por supuesto, la Mentira álgebra de sesgar-simétrica, real $3\times 3$ matrices y, desde $\det(\exp(H)) = \exp(\mathrm{tr}(H))=1$ para cualquier matriz $H$, podemos ver que $SO(3)$ es el total de $\mathfrak{G}_\mathrm{id}$. Es un subgrupo normal de $O(3)$, y el grupo de cosets simplemente es $O(3)/SO(3)\cong\{+1,\,-1\}\cong\mathbb{Z}_2$, que es otra forma de escribir de su descomposición.
Respuesta a editar 1: Para los colectores, que son localmente Euclídeo (localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^N$) ruta de acceso de la conexión y la conexión son la misma noción. Por otra parte, la ruta de conexión, siempre implica la conexión (para demostrar esto, supongamos lo contrario y deje $\alpha,\,\beta\in\mathbb{X}$ pertenecen a separar los componentes conectados a $\mathbb{U},\,\mathbb{U}^\sim$ vinculado por el camino de $\sigma:[0,\,1]\to\mathbb{X}$ donde $\mathbb{X}$ es el topológica del espacio en cuestión y $\mathbb{X}=\mathbb{U}\bigcup\mathbb{U}^\sim$. Por supuesto (ruta de acceso de la conexión), $\sigma$ es continua cuando $[0,\,1]$ tiene su wonted topología. Pero $\mathbb{U},\,\mathbb{U}^\sim$ son distintos, por lo tanto lo es $\mathbb{V}=\sigma([0,\,1])\bigcap\mathbb{X}$, por lo que la inversa de la imagen $\sigma^{-1}(\mathbb{V})$, es decir,$[0,\,1]$, también debe ser la unión de los distintos bloques abiertos, contradiciendo la conocida conexión de $[0,\,1]$). Sin embargo, no todos conectados espacios topológicos son ruta de acceso conectado (buscar el raro "topologist de la Curva Sinusoidal" como un contraejemplo).
Respuesta a Editar 2. En realidad, hemos hecho ya anteriormente, debido a que cada matriz en $SO(3)$ puede ser escrito como una $\exp(H)$ donde $H\in\mathfrak{so}(3)$, de modo que usted puede tomar su camino a $\sigma:[0,\,1]\to SO(3);\;\sigma(\tau) = e^{\tau\,H}$. Para demostrar que todos los $SO(3)$ matriz puede ser escrito en esta era de los primeros principios, simplemente testimonio de que $\gamma\in SO(3)$ es normal, es decir, los viajes con su Hermitian transponer y por lo tanto siempre tiene un diagonalisation con vectores propios ortonormales, por lo $\exists U\ni\,\gamma=U\,\Lambda\,U^\dagger$ donde $\Lambda$ es la matriz diagonal de valores propios, ninguno de los cuales son cero ($SO(3)$ es un grupo). Por lo tanto, siempre se puede definir $\log\gamma = H = U\,\log\Lambda\,U^\dagger$, y listo.
Tenga en cuenta que esto no funciona para $O(3)$, porque ahora $H$, aunque se definen como $H = \log \gamma$, $H$ ahora tiene la diagonal de los elementos si $\gamma\not\in SO(3)$, lo $H\not\in\mathfrak{so}(3)$ y usted no puede encontrar una ruta a través de $O(3)$'s de los gráficos, porque $\mathfrak{so}(3)$ es la Mentira de álgebra de $O(3)$.
