¿Es$\mathbf{Z}[X]/(2,X^2+1)$ un campo / PID?

Question

Me han pedido que determina si los siguientes son los campos, PIDs, Ufd, integral dominios: $$\mathbf{Z}[X],\quad \mathbf{Z}[X]/(X^2+1),\quad \mathbf{Z}[X]/(2,X^2+1)\quad \mathbf{Z}[X]/(2,X^2+X+1)$$

1. El primero es un UFD desde $\mathbf{Z}$ es, pero no un PID desde $\mathbf{Z}[X]/(X)\simeq \mathbf{Z}$, no es un campo y $X$ es irreductible.

2. El segundo es un campo desde $X^2+1$ es irreducible en a $\mathbf{Z}$.

3. Yo estoy pegado en esto. Creo que no es un campo, porque: $$\mathbf{Z}[X]/(2,X^2+1)\simeq \mathbb{F}_2[X]/(X^2+1)$$ Pero $X^2+1$ no es irreducible en a $\mathbb{F}_2[X]$ desde $(X+1)(X+1)=X^2+1$, por lo que no es un campo. Pero no puedo ver cómo ir más allá.

4. Como en 3. esto es $\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)$, e $X^2+X+1$ es irreducible en a$\mathbb{F}_2$, por lo que es de campo.

Son 1, 2, y 4 correcta? ¿Cómo puedo ir más allá con 3? Gracias por la ayuda.

Answer 1

1. $\mathbb{Z}[X]$ no es un PID porque el ideal$(2,X)$ no es principal.

2. $\mathbb{Z}[X]/(X^2+1)$ es el anillo de enteros gaussianos, que es un PID. No es un campo, porque$2$ no es invertible (por ejemplo).

3. $\mathbb{Z}[X]/(2,X^2+1)$ ni siquiera es un dominio, porque como notaste$X^2+1=(X+1)^2$ en$\mathbb{F}_2$.

4. Tu respuesta es correcta

Answer 2

Sugerencia:$(X+1)^2 = X^2+2X+1= X^2+1+2X$, por lo que la clase de$(X+1)^2$ en$Z[X]/(2,X^2+1)$ es cero y, por lo tanto, la clase de$X+1$ es un divisor de cero.