Hasta donde yo sé, los reales no fueron construidos rigurosamente durante su tiempo (es decir, a través de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy o recortes de Dedekind), entonces, ¿cómo Newton incluso definió la diferenciación o la integración de las funciones de valores reales?
Respuestas
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MJD
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37705
Usted no necesita una definición formal de los números reales para entender los números reales. Fracciones decimales, con la que Newton era bastante familiar, se había inventado un centenar de años antes, y proporcionar una suficientemente rico y modelo uniforme para una buena comprensión de los números reales. Añadir a fracciones decimales de la noción, de que Newton era consciente, de que $0.abc9999\ldots = 0.ab\{c+1\}000\ldots$, y lo que tenemos es exactamente los números reales.
Así que creo que la premisa de la pregunta está mal. Matemático rara vez se inventan algunos formalización del aire y, a continuación, el estudio de sus propiedades; por el contrario, tienen un objeto que tiene ciertas propiedades, que se formalizará con el fin de examinar más de cerca. Los números reales se inventaron y se entiende mucho antes de que se formalizaron por Cantor y Dedekind. Había Cantor o Dedekind del formalizaciones no pudo capturar las propiedades de los números reales como ya estaban entendido, se hubiera tirado a la basura todas esas formalizaciones y volvió a empezar. (En el comentario, veo que Andrés Caicedo dijo esto en un comentario.)
Del mismo modo, la noción de una función continua a largo precede a su definición formal por Weierstrass. Las primeras nociones no siempre coincide exactamente con el moderno formal de la noción, sino que coincide muy de cerca, porque la moderna notación formal es la intención de formalizar la anterior idea intuitiva.
Pokus
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1809
En Leibnitz' caso (que co-inventado) por (muy equivocadamente) suponiendo que el griego atomos (indivisible) que realmente era: una pequeña parte indivisible que él llamó "Monaden", y que explica, también, que su signo integral es sólo una estilizada "S" para la suma como él realmente creía que podría suma de las partes. Su filosofía fue en general bastante flojo (como Voltaire estaría de acuerdo). Sólo resultó funciona como debería (por lo general), pero los libros hasta un siglo más tarde por grandes matemáticos como Euler tuvo errores como el infinitesimal conceptos no fueron entendidos (por ejemplo, por qué es importante tener a veces uniforme de la continuidad, no sólo de la continuidad).
En el caso de newton, recuerdo que esta menos salvo que su "fluxiones", fueron motivados por la física y de nuevo se volvió a hacer lo correcto, incluso a pesar de que una fundación no estaba presente, pero aún así...que es sin duda parte de su (y de su genio.
Neal
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16536
He leído que Newton imaginó tiempo como flujo en muy corto, discreto garrapatas, y tratados de la derivada como la interpolación lineal entre las garrapatas. Esto le dejó de considerar las tasas de cambio que variaba con el tiempo y la posición. Pero a Newton, clavando la definición precisa de los "derivados" no era tan importante como tener un marco simbólico para cuantificar sus leyes del movimiento y producir predicciones empíricas, tanto como para los físicos modernos, clavando cosas como las integrales de Feynman no son tan importantes como tener un marco simbólico para generar predicciones de colisiones de partículas.
Hablando en general, antes de la primera mitad del siglo xx, las matemáticas no se realizó de manera tan rigurosa como lo es hoy. Los inventores del cálculo no necesita dar super-pruebas rigurosas, porque como usted bien señala, los conceptos necesarios para una rigurosa base de cálculo todavía no existía, de hecho, cálculo motivado su invención (o descubrimiento)!
Tal vez más pertinentemente, la limpio, ordenado la construcción de cálculo visto en muchos análisis real de las clases (construcción de reales, definir los límites con $\epsilon$-$\delta$s, proceder con la definición-teorema de la prueba) se realiza en retrospectiva. Su actual desarrollo histórico habría procedido en salta y comienza, a menudo (desde la perspectiva del análisis real del estudiante) hacia atrás y hacia los lados. No vemos que en clase, ya que los análisis real es de siglos teoría, digerido y regurgitado por tantas generaciones de matemáticos que el estándar de presentación, es ahora optimizado y limpio.
marty cohen
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33863
Mucho antes, los griegos inventaron una sorprendente cantidad de matemáticas. Arquímedes conocía una buena cantidad de cálculo, y los griegos demostraron por geometría euclidiana que$\sqrt{2}$ y otros surds eran irracionales (lo que molestaba mucho a Pythagorus).
Y puedo hacer una cantidad moderada de matemática (a menudo válida) sin saber por qué la sub-topología co-finita de los reales tiene un centralizador normal hetero-cocomórfico (si eso realmente significa algo, me disculpo).
jlupolt
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369
Los conceptos de un número real arbitrario lugar en una regla entre los valores enteros probablemente fue entendido intuitivamente por los carpinteros mucho antes de que Newton o Dedekind, y las ideas de áreas y volúmenes también se entendieron mucho antes de que Newton inventó la integral.
Esta pregunta trae a la mente de V. I. Arnold pieza sobre los peligros de estudio de las matemáticas sin la física:
A la pregunta "¿Qué es 2 + 3", una escuela primaria francesa alumno respondió: "3 + 2, ya que la suma es conmutativa". Él no sabía lo que la suma es igual a y ni siquiera podía entender lo que se le preguntó acerca de!
... tan ridículo como la enseñanza de la adición de fracciones a los niños que nunca han de corte (al menos mentalmente) un pastel o una manzana en partes iguales. No es de extrañar que los niños prefieren agregar un numerador con numerador y denominador con denominador!"
