Pregunta simple sobre la forma cuadrática

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y $\dim V \geq 2$ . Debo demostrar que si $q: V \to \mathbb{C}$ es una forma cuadrática entonces existe $v\neq 0$ tal que $q(v)=0$ . Además, la respuesta sería diferente si $V$ se acabó $\mathbb{R}$ ?

La pregunta parece muy sencilla, pero no encuentro la forma de probarla. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Supongamos que $$q(z_1,z_2,\ldots,z_n)=\sum_{i,j}{a_{ij}z_iz_j}$$ con $a_{ij}\in \mathbb{C}$ . Consideremos la matriz $M=(a_{ij})$ . Al cambiar de base podemos suponer que $M$ está en la forma canónica de Jordania, por lo que $M=D+N$ con $D$ diagonal y $N$ nilpotente, con valores propios $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ para que $$q(z_1,z_2,\ldots,z_n)=\sum_i{\lambda_iz_i^2}+\sum_{j=i+1}{N_{ij}z_iz_j}$$ Si cualquier valor propio, por ejemplo el $i$ th, es $0$ , entonces se elige el vector con $0$ s en todas partes y un $1$ en posición $i$ funcionará. De lo contrario, considere $$q(z,z^2,z^3,\ldots,z^n)=\sum_i{\lambda_iz^{2i}}+\sum_{j=i+1}{N_{ij}z^{2i+1}}$$ Como ningún término se cancela y existen términos con coeficientes no nulos de diferentes grados no nulos, este polinomio tiene una raíz no nula $r$ por lo que el vector $v=(r,r^2,\ldots,r^n)$ satisface $q(v)=0$ .

En $\mathbb{R}$ puede que no exista tal $v$ . Por ejemplo, considere $$q(x,y)=x^2+y^2$$ Entonces, si $q(x,y)=0$ debemos tener eso $x=y=0$ .

Answer 2

Obsérvese que existe una base $(e)$ (con al menos dos vectores) donde $q$ es diagonal, es decir $$q=\sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i^2$$

Ahora bien, si hay eixsts $\alpha_i=0$ entonces $q(e_i)=0$ . De lo contrario, $q(e_1) = \alpha_1 \neq 0$ y $q(e_2) = \alpha_2 \neq 0$ . Puede comprobar que $$q(i e_1 + \left( \sqrt{\alpha_1 / \alpha_2} \right) e_2)=0$$

Así que siempre puedes encontrar algún $v \neq 0$ tal que $q(v)=0$ .