Encontrar límites usando integrales definidas$\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}\frac{k^{4}}{n^{5}}$

Question

Encuentra el límite de$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac 1 {n^5}(1^4+2^4...+n^4)$ usando integrales definidas.

Es igual a: $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum^n_{i=1}\frac 1 i$ pero ahora no estoy seguro de cómo convertirlo en una integral.

$\Delta x_i=\frac 1 n, f(x_i)=1$, entonces la integral sería:$\displaystyle\int 1dx$? ¿Cómo puedo encontrar los límites?

Answer 1

Sugerencia: vuelva a escribir la suma como:$$\frac1n\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac kn\Bigr)^4.$ $ Esta es una suma de Riemann superior para la función$x^4$ en el intervalo$[0,1]$.

Answer 2

Insinuación:

Suma de la serie usando integral definida:

ps

Dónde

1.$$\lim \limits_{n\to \infty }\frac{1}{n} \sum \limits^{h(n)}_{r=g(n)}f(\frac{r}{n})=\int \limits^{b}_{a}f(x)dx$ $

2.$$\sum \to \int$ $

3.$$\frac{r}{n} \to x$ $

4.$$\frac{1}{n} \to dx$ $

5.$$a=\lim \limits_{n\to \infty }\frac{g(n)}{n}$ $

Answer 3

Dibuja la curva$y=x^4$. Por comparación de área, tenemos$$\int_0^n x^4\,dx\lt 1^4+2^4+\cdots+n^4\lt \int_0^{n+1} x^4\,dx.$ $ Se deduce que$$\frac{1}{5}\lt \frac{1^4+2^4+\cdots +n^4}{n^5}\lt \frac{1}{5}\cdot \frac{(n+1)^5}{n^5}.$ $ Desde$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^5}{n^5}=1$, sigue al exprimir que nuestro límite es$\frac{1}{5}$.

Answer 4

Eso se puede abordar también sin integrales. Obviamente:$$ 4!\binom{n}{4}\leq n^4 \leq 4!\binom{n+3}{4} \tag{1}$ $ y sumando ambos lados sobre$n=1,2,\ldots,N$ a través de una identidad combinatoria bien conocida obtenemos:$$ 4!\binom{N+1}{5}\leq\sum_{n=1}^{N}n^4\leq 4!\binom{N+4}{5}\tag{2} $ $ y dividiendo ambos lados entre$N^5$ y dejando% # ps

Answer 5

Aunque no me lo preguntó el OP, pensé que sería interesante mencionar que la suma$\sum_{k=1}^n k^4$ es bien conocida ( http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html ) y puede escribirse

ps

Dividiendo por$$\sum_{k=1}^n k^4 =\frac{1}{5}n^5 +\frac12 n^4+\frac13 n^3-\frac{1}{30}n$ y dejando que$n^5$ recupere el resultado esperado

ps