Creo que he sido confuso a mí mismo acerca de la lengua de subespacios, y así sucesivamente. Esta es una pregunta básica, así que por favor desnuda conmigo. Me pregunto por qué no lo hacemos (o tal vez "debemos" hacer, y yo no sé acerca de él) decir que $\mathbb{ R } $ es un subespacio de $\mathbb{ R }^2 $. Es elemental para demostrar que el conjunto
$$ S:= \left\{ c \cdot \mathbf{x} \mid c \in \mathbb{ R }, \mathbf{x} \in \mathbb{ R }^2 \right\}$$
es un subespacio vectorial de $\mathbb{ R } ^2$. Lo que me confunde es que parece que existe un isomorfismo entre el conjunto de $S$$\mathbb{ R } $:
\begin{align*}
\varphi: S &\rightarrow \mathbb{ R } \\
c \cdot \mathbf{x} &\mapsto c \\
\end{align*}
Si esto es cierto, como creo que es, después de haber comprobado que el $\varphi$ da un isomorfismo, no podemos decir que $\mathbb{ R } $ es un subespacio de $\mathbb{ R } ^2$?
Cualquier ayuda ordenar este (idioma) problema será muy apreciada!
Respuesta
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De hecho esta es una pregunta importante. No hay duda de que $\mathbb{R}$ es isomorfo a muchos de los subespacios de $\mathbb{R}^2$, o en otras palabras, $\mathbb{R}$ puede ser incrustado en muchas maneras en las $\mathbb{R}^2$. La cosa es que no hay ninguna específica subespacio en $\mathbb{R}^2$ que es el mejor para representar a $\mathbb{R}$.
Si usted quiere tratar a $\mathbb{R}$ como un subespacio, es necesario especificar la incrustación $\mathbb{R}\hookrightarrow\mathbb{R}^2$ a que se refiere.
Yo diría que como siempre que no elija la incrustación, $\mathbb{R}$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^2$.
