Dejemos que $C$ y $R$ sea un par de $n$ -tuplas tales que $C_i$ cuenta el número total de piedras en el $i^\text{th}$ columna y $R_j$ cuenta el número total de piedras en el $j^\text{th}$ fila.
Los componentes de $C$ y $R$ son números enteros que satisfacen las condiciones
$$ \sum_{k=1}^n C_k = \sum_{k=1}^n R_k = m $$
Creo que no hace falta demostrar que un movimiento de piedras deja a todos los componentes de $C$ y $R$ invariante.
Es posible que algunos necesiten algún argumento que implique la teoría de grupos para demostrar que existe una correspondencia uno a uno entre las diferentes formas no equivalentes en que Steve puede apilar las piedras y el número de pares distintos de $n$ -tuplas $C$ y $R$ pero simplemente lo afirmaré aquí y procederé a contar los $n$ -tuplas.
r.t.p.
Teorema 1: El número de distintos $n$ -de números enteros cuyos componentes suman un número entero m viene dado por $\displaystyle N^{(m)}_n \equiv \binom{m+n-1}{n-1}$ .
prueba por inducción
para $n=1$ tenemos $\binom m0 = 1$ 1-tuplas que suman $m$ .
para $n=2$ tenemos $\binom {m+1}{1} = m+1$ pares ordenados que suman $m$ ( primer elemento cualquier número de $0$ a $m$ segundo elemento fijado por la condición de la suma )
Ahora supongamos que la afirmación es cierta para todos $n$ hasta e incluyendo $k$ . podemos formar un $(k+1)$ -tupla que suma a $m$ con un primer elemento de $p$ que puede ser cualquier número entre 0 y $m$ seguido de todos los $k$ -tuplas que suman $m-p$ .
Así que el número de ( $k+1$ )-tuplas que suman $m$ viene dada por
$$ N^{(m)}_{k+1} =\sum_{p=0}^{m} \binom{m-p+k-1}{k-1}=\sum_{s=0}^{m} \binom{s+k-1}{k-1}= \binom{m+k}{k} = \binom{m+(k+1)-1}{(k+1)-1}$$
como se requiere, por lo que la afirmación relativa a $N_n$ se demuestra tan pronto como he justificado ese penúltimo " $=$ "
Teorema 2: $\displaystyle \sum_{l=0}^p \binom{l+n}{n} = \binom{p+n+1}{n+1}$
Prueba por inducción
para $p=1$ tenemos $\binom nn + \binom {n+1}{n} = n+2 =\binom{n+2}{n+1}$
asumiendo el Teorema 2 para $p=k$
$$\sum_{l=0}^{k+1}\binom{l+n}{n} = \binom{k+n+1}{n+1}+ \binom{k+n+1}{n}=\binom{(k+1)+n+1}{n+1}$$
como se requiere ( el último "=" es sólo una aplicación de la regla de Pascal )
por lo que los teoremas 1 y 2 quedan demostrados y el número de pares ordenados de n-tuplas que suman m viene dado por
$$ (N^{(m)}_n)^2 = \binom{m+n-1}{n-1}^2. $$
Eso es todo lo que tengo, lo que más me interesa es el teorema 1, sé que he intentado descubrirlo en el pasado y no lo he conseguido, es un teorema tan sencillo que seguro que tiene una demostración mucho más elegante que la de inducción anidada que se me ha ocurrido esta noche.
