Así que, usted, literalmente, puede escribir un libro sobre esta materia (presentan una) y por eso voy a intentar mi mejor esfuerzo para mantenerlo corto y dulce (tanto como sea posible, al menos). Yo también no menciona nada acerca de la interpretación física de aperiódica patrones y mosaicos que matemáticos y de estado sólido, los físicos están interesados en - a saber, los cuasicristales.
Usted ha mencionado que el periódico apuntados puede caracterizarse por un grupo de acción de el espacio que se azulejo bajo que el mosaico es invariante - atengámonos a euclidiana $2$-espacio, $\mathbb{R}^2$ para este post. Usted puede hacer esto de varias maneras, usted podría mirar sólo el subgrupo del grupo de traducción en $\mathbb{R}^2$ bajo que el suelo de baldosas $\mathcal{T}$ es invariante, en cuyo caso se cocompact periódico mosaico ha invariante subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}^2$, o puede considerar el subgrupo de la plena euclidiana grupo en $\mathbb{R}^2$ en virtud de la cual $\mathcal{T}$ es invariante, como rotaciones - esto es más sutil y dependerán de las características de suelo de baldosas, pero entendemos este caso muy bien también.
El suelo de Baldosas Espacio de $\mathcal{T}$
Ahora, consideremos también el dual topológico de la teoría a la configuración de este. Siempre que tenemos un grupo de $G$ que actúa sobre un colector $M$, podemos considerar el cociente del espacio de $M/G$, por lo que en el caso de la traducción subgrupo invariante para un periódico de baldosas, tenemos el espacio $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ $2$- torus $T=S^1\times S^1$ (en general, para $n$-dimensiones periódico apuntados recibimos el $n$-torus $(S^1)^n$). Vamos a llamar a este espacio en el suelo de baldosas espacio de nuestro mosaico $\mathcal{T}$ y se denota por a $\Omega_{\mathcal{T}}$ por un arbitrario suelo de baldosas.
Si queremos considerar rotaciones, tenemos que ser un poco más inteligente para no perder demasiada información y en lugar de considerar la orbifold (stacky) cociente del grupo de simetría. No voy a gastar más tiempo en la rotación versión, ya que pueden mancharse con bastante rapidez y se requiere de su propia nueva pregunta, en mi opinión.
Ahora, ¿cómo podemos ver el torus $T$ como un objeto que nos da información acerca de nuestro mosaico? Bueno en realidad es bastante simple; un punto en el toro corresponde a una colocación de el origen de las $\mathbb{R}^2$ alguna parte de nuestro ordenamiento en teselas. Es decir, si elegimos algunos periódicos de baldosas $\mathcal{T}$, incluyendo un determinado origen, entonces si nos movemos a lo largo de uno de los elementos del grupo en $G$ debemos terminar de vuelta a donde empezamos y lo local, no importa a qué distancia del origen se mire, todo sobre el suelo de baldosas parece la misma. Hemos colocado efectivamente una métrica en el conjunto de todos los embaldosados del plano por los azulejos en $\mathcal{T}$ que dice que "si una traducción realizada por un vector $x$ me puede conseguir desde el suelo de baldosas $\mathcal{T}$ para el suelo de baldosas $\mathcal{T}'$, entonces decimos que $d(\mathcal{T},\mathcal{T}')=|x|$, a menos que por supuesto no es un vector de longitud más corta. Así que en realidad deberíamos decir $$d(\mathcal{T},\mathcal{T}')=\inf\{|x|:\mathcal{T}+x=\mathcal{T}\}$$ and in fact this gives a well defined metric on the set of all tilings of the plane which contain only those tiles appearing in $\mathcal{T}$ and moreover this space is, by construction, homeomorphic to the tiling space $\Omega_\mathcal{T}$. Por eso puede ser tomado como definición de la segmentación del espacio.
Lo que si $\mathcal{T}$ es aperiódica?
Bien, esta es la pregunta que pidió originalmente y es una buena pregunta - es la razón por la que pasaron tanto tiempo la definición de la segmentación del espacio en términos de eficacia local de la información de el mosaico de recordar para un periódico de ordenamiento en teselas el origen sólo necesita saber el paradero de en una baldosa es con el fin de determinar en qué punto mosaico que representa en el suelo de baldosas de espacio. Ahora estamos establecido para el manejo de mosaicos aperiódicos con sólo una pequeña modificación de la anterior métrica.
Primero, supongamos que $\mathcal{T}$ es un mosaico del plano que es aperiódica, por lo que no tiene traducciones que solucionarlo. Podemos decir que este en la notación como $\forall x\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\},\:\mathcal{T}+x\neq\mathcal{T}$. Consideremos el siguiente conjunto de mosaicos. Vamos a decir que $\mathcal{T}'$ es localmente isomorfo a $\mathcal{T}$ si para todas las $R>0$, el conjunto de mosaicos dentro de $R$ de distancia de la procedencia en $\mathcal{T}'$, lo que vamos a denotar por $B_R(\mathcal{T}')$, se puede encontrar en algún lugar en el suelo de baldosas $\mathcal{T}$. En la notación $\mathcal{T}'$ es localmente isomorfo a $\mathcal{T}$ si $\forall R>0, \:\exists x\in\mathbb{R}, \:B_R(\mathcal{T}')=B_R(\mathcal{T}+x)$. Vamos a llamar a el conjunto de todos los apuntados localmente isomorfo a $\mathcal{T}$ el suelo de baldosas espacio de $\mathcal{T}$ y escribo como $\Omega_\mathcal{T}$. Aviso, yo no he dicho que la topología del espacio todavía.
Ahora, desde el material motivador antes, queremos poner algunas métricas en $\Omega_{\mathcal{T}}$, lo que de alguna manera satisface nuestra noción de dos apuntados estar cerca si se ven muy similares entre sí en torno al origen a un gran radio. Voy a poner la métrica aquí, pero tenga en cuenta que no es bastante - hay formas equivalentes para definir esta métrica e incluso se puede prescindir de la definición de la métrica por completo y simplemente definir la topología, pero ninguno de ellos es especialmente bonito en lugar de eso, trate de mantener la intuición de que dos de los apuntados son cerca de si, después de un poco de meneo, que se superponen unos a otros alrededor del origen en algunos de gran parche de azulejos. Para embaldosados $\mathcal{T}',\mathcal{T}''\in\Omega_{\mathcal{T}}$ definimos el mosaico de la métrica $d\colon\Omega_\mathcal{T}\times\Omega_\mathcal{T}\to\mathbb{R}$ por
$$d(\mathcal{T}',\mathcal{T}'')=\inf(\{\sqrt{2}\}\cup\{\epsilon\mid\:\exists u,v\: B_{1/\epsilon}(\mathcal{T}'+u)=B_{1/\epsilon}(\mathcal{T}''+v)\mbox{ and }|u|,|v|<\epsilon\}$$ where $B_R(\mathcal{T})$ is defined as before to be the set of tiles within a ball of radius $R$ about the origin. It's a nice exercise to show that $d$ as above really is a metric and a slightly easier exercise to then show that if $\mathcal{T}$ is periodic, $d$ es equivalente a la anterior métrica definida en el periódico caso. En este sentido, la métrica es, al menos, una adecuada generalización de los periódicos caso.
La mayoría del trabajo duro está haciendo ahora. Tenemos nuestro mosaico espacio de $\Omega_\mathcal{T}$, y que parece representar a nuestra intuición de lo que significa para los dos apuntados a ser similar a un alto grado de precisión' - hay cientos de papeles por el camino tratando de comprender la topología de estos espacios - que son extremadamente complicados espacios. Para mosaicos aperiódicos que son localmente finito, por lo que hay sólo un número finito de parches de azulejos de un radio determinado que aparecen en $\mathcal{T}$) están conectados, pero no la ruta de espacios conectados. También son compactos.
Ellos son un poco como un solenoide como se muestra a continuación, con la excepción de que no son espacios homogéneos. Dada una regularidad condición conocida como la repetitividad que no voy a escribir aquí (un mosaico de Penrose es tanto localmente finito y reptitive) un mosaico cuyas teselas son polígonos reunión de borde a borde tiene un suelo de baldosas de espacio que las fibras sobre el $2$-torus $T$ con fibra de homeomórficos a un conjunto de Cantor. Usted puede pensar de moverse por el toro como la traducción de las baldosas por pequeñas cantidades, y luego saltar de un pequeño discreta distancia de un punto en el Cantor de la fibra a otra corresponde a hacer una elección diferente de la colocación de un azulejo lejos del origen, pero todo lo demás más cerca en el que el icono es el mismo.
![The dyadic solenoid]()
¿Y el álgebra?
Voy a dejar esta sección bastante vago como este post ya es muy largo. Como el astuto lector habrá adivinado, nuestro habitual bolsa de trucos para el estudio de estos espacios no realmente funcionan - tenemos una innumerable colección de distintos ruta de los componentes conectados, cada uno de los componentes de los que está débilmente contráctiles, de modo singular (co)homología y homotopy grupos son todos bastante inútil en esta configuración. Lo que necesitamos es un invariante que de alguna manera se puede ver los componentes conectados en oposición a la ruta de acceso a los componentes conectados - por razones que no voy a ir, resulta que la herramienta se Čech cohomology.
Para CW complejos de la Čech cohomology es isomorfo a la singular cohomology así como un bono, para el periódico apuntados, podemos recuperar nuestro grupo original $\mathbb{Z}^2$ como el primer Čech cohomology grupo! Para mosaicos aperiódicos la Čech cohomology es un muy buen invariante, se da una buena cantidad de información sobre el suelo de baldosas de espacio, que a su vez puede ser traducido a información acerca de la colocación de las baldosas. Todavía estamos tratando de encontrar una completa comprensión de lo que la información está muy incrustado en la Čech cohomology. Probablemente el mayor bono de Čech cohomology es que en realidad podemos calcular que para una gran clase de los espacios, incluyendo el mosaico de Penrose utilizando diversas técnicas sofisticadas. El Čech cohomology de el mosaico de Penrose espacio de $\Omega_P$ está dado por
$$\check{H}^0(\Omega_P) \cong \mathbb{Z}\\ \check{H}^1(\Omega_P) \cong \mathbb{Z}^5\\ \check{H}^2(\Omega_P) \cong \mathbb{Z}^8.$$
Hay un par de otros invariantes que se puede asociar a mosaico de espacios, incluyendo su $K$-teoría, el mosaico groupoid, el $\lim^1$ invariante, diversas nociones de equivalencia dinámica y la forma de equivalencia. Para el lector que quiera leer más de lo que se ha esbozado aquí, te recomiendo el libro de Lorenzo Sadun$^{[1]}$ enlazado más arriba, y el artículo seminal de Anderson y Putnam (1998).$^{[2]}$
$[1]$ Lorenzo Sadun (2008) Topología de Mosaico de Espacios. Sociedad Matemática americana, ISBN-13: 978-0-08218-4727-5. ISBN-10: 0-8218-4727-9
$[2]$ Jared E. Anderson y Ian F. Putnam (1998). Invariantes topológicos para la sustitución de mosaicos y sus asociados $C^\ast$-álgebras. Ergodic Teoría y Dinámica de Sistemas, 18, pp 509-537.
