Demostrando que toda medida finita sobre $(X,P(X))$ puede escribirse como $\int_E f \,du$ .

Question

Quiero demostrar que toda medida finita sobre $(X,P(X))$ donde $P(X)$ denota el conjunto de potencias de $X$ tiene la forma $v(E) = \int_E f \,du$ para una función medible no negativa $f$ y donde $u$ es la medida de recuento.

Creo que aquí debemos utilizar el teorema de Radon-Nikodym. En primer lugar, cualquier medida finita $v$ en $(X,P(X))$ es $\sigma$ -finito. También $v$ es absolutamente continua con respecto a $u$ ya que si $u(E) = 0$ puis $|E| = 0$ así que $E = \emptyset$ y así $v(E) = v(\emptyset) = 0$ (porque es una medida). Sin embargo, $u$ (la medida de recuento) no es necesariamente $\sigma$ -finito, es decir, si $X$ es incontable. Así que no puedo utilizar el Radon-Nikodym aquí.

Quizá la pregunta pretendía restringir $X$ a conjuntos contables? Desde entonces $u$ es $\sigma$ -finito y entonces se aplica el Radon-Nikodym para dar el resultado.

¿Hay algún error en la pregunta o podemos mostrar la afirmación (en el primer párrafo) tal cual?

La pregunta original:

Answer 1

La pregunta planteada es (probablemente) independiente de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos. Concretamente, la existencia de un contraejemplo es equivalente a la existencia de un cardinal mensurable de valor real un tipo de cardenal grande. No se puede demostrar que tal cardinal exista en ZFC, pero generalmente se cree que es consistente con ZFC (aunque esto no se puede demostrar en ZFC, incluso asumiendo que ZFC en sí es consistente).