Deje$1 \leq p <\infty$ y$f \in L^p(\mathbb{R})$. Probar $\lim_{x \to \infty} \int_x^{x+1} f(t) dt = 0$.

Question

(Jones, p.246) Permita$1 \leq p <\infty$ y$f \in L^p(\mathbb{R})$. Probar $\lim_{x \to \infty} \int_x^{x+1} f(t) dt = 0$.

Esto parece bastante fácil de probar de la siguiente manera:

Permita que$g_j$ sea una función continua de soporte compacto que se aproxima de modo que$\| g_j - f \|_{L^1} < 1/2^j$. Entonces, dado que el supp (g) es finito, para todo$\epsilon$, existe un$x$ lo suficientemente grande como para$\int_x^{x+1} g(t) dt < \epsilon$. Como$g$ se aproxima a$f$ en la norma L1, tenemos ese$\int_x^{x+1} f(t) dt < 1/2^j + \epsilon \to 0$ como$r,j \to \infty$.

¿Es este un buen enfoque?

Answer 1

Dado que$f\in L^p$,$$ C:= \int_{\mathbb{R}} |f|^p <\infty$ $ por titular, $$ \ int _ {[c, c + 1]} | f | \ leq \ bigg (\ int _ {[c, c + 1]} | f | ^ p \ bigg) ^ \ frac {1} {p} $$

Por lo tanto,$$b_K:=\sum_{n=0}^K a_n \leq C,\ a_n:= \bigg(\int_{[n,n+1]} |f| \bigg)^p $$ for any $ K$. Hence $ \ {b_K \}$ is a bounded increasing sequence. Hence it converges so that $ a_ {K + 1} = b_ {K + 1} -b_K \ rightarrow 0 $.

Answer 2

$$\int_{\mathbb{R}} |f|^p <\infty $$ Hence $$\lim_{b \to \infty} \int_{-\infty}^b |f|^p =\int_{-\infty}^{b} |f|^p + \sum_{i=0}^{\infty} \int_{b+ci}^{b+ci+1} |f|^p < \infty$$ $ \ forall c \ in \ mathbb {R}$. But $$\int_{\mathbb{R}} |f|^p < \infty \Rightarrow \int_{-\infty}^{b} |f|^p< \infty$$ Therefore $$\lim_{i \to \infty} \int_{b+i}^{b+i+1} |f|^p=0$ ps

Answer 3

Dejar $\epsilon>0$. Como$C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)$ es denso en$\text{L}^{p}\left(\mathbb{R}\right)$, uno puede encontrar$g\in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)$ de manera que$\left|g-f\right|_{\text{L}^{p}\left(\mathbb{R}\right)}\leq\frac{\epsilon}{2}$. Luego, por Holder y las propiedades de la norma$\text{L}^{p}$,

$\int_{x}^{x+1}\left|f\right|\leq\left(\int_{x}^{x+1}\left|f\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\leq\left(\int_{x}^{x+1}\left|f-g\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{x}^{x+1}\left|g\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}.$

Apelando al soporte compacto de$g$, uno puede encontrar$x\in\mathbb{R}$ lo suficientemente grande para que$\left|g\right|^{p}=0$ en$\left[x,\infty\right)$. Por lo tanto,

$\lim_{x\rightarrow\infty}\int_{x}^{x+1}\left|f\right|\leq\frac{\epsilon}{2}<\epsilon.$

Ahora envíelo $\epsilon\downarrow0$.