Muestre estos dos espacios de Banach isométricamente isomorfos

Question

Considere$C_{\mathbb{F}}[a,b]$ y$C_{\mathbb{F}}[c,d]$ (el espacio de funciones continuas de un intervalo en el campo) para dos intervalos$[a,b]$ y$[c,d]$, donde$-\infty<a<b<\infty$ y$-\infty<c<d<\infty$. Ambos se suministran con la norma suprema$||\cdot||_\infty$. Debo mostrar que estos dos espacios de Banach son isométricamente isomórficos.

Creo que tengo que dar una isometría$T: C_{\mathbb{F}}[a,b]\to C_{\mathbb{F}}[c,d]$? Soy un poco nuevo en este concepto, así que una sugerencia sería apreciada.

Answer 1

Dada una función de $f\in C_\mathbb{F}[a,b]$, es necesario especificar una función de $Tf\in C_\mathbb{F}[c,d]$. A ver cómo podríamos probar esto, vamos a estudiar cómo podemos identificar a $[c,d]$$[a,b]$.

Queremos definir una función $G:[c,d]\to[a,b]$ cuya gráfica es un segmento de recta que contiene los puntos de $(c,d)$$(a,b)$. Esto le da $$ G(x) = a+\frac{b}{d-c}(x-c). $$

El uso de esta $G$, vamos a definir $Tf:[c,d]\to\mathbb{F}$$(Tf)(t)=f(G(t))$. Desde $G$ es un continuo surjection, tenemos que $Tf=f\circ G$ es continua y $$ \|Tf\|_\infty=\sup_{t\en[c,d]}|f(G(t))|=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)|=\|f\|_\infty. $$ Queda comprobado que $T$ es lineal y un surjection. Por último, puede ser útil tener en cuenta que $G$ es invertible.