Limite como$x$ acercándose a$0$ de$ (9/x) - 9cot(x)$

Question

Ok, entonces la respuesta correcta es$0$ y se confirma gráficamente, pero ¿cómo concluimos esto algebraicamente? Esto está rompiendo la propiedad de límites donde puede tomar los límites individuales de$(9/x)$ y$9cotx$ y el límite de la función sería$L - C$, pero$L$ y$c$ ¿no existe?

Answer 1

ps

Al encontrar un denominador común para las dos fracciones, obtenemos un límite de la forma$$\lim_{x\to 0} \frac9x - \frac{9\cos x}{\sin x} = \lim _{x\to 0} \frac{9\sin x - 9x\cos x}{x\sin x}$. Ahora, podemos aplicar la regla de L'Hospital. Se necesitan dos aplicaciones para obtener una respuesta:

$$ \begin{align} \lim _{x\to 0} \frac{9\sin x - 9x\cos x}{x\sin x} &= 9\lim _{x\to 0} \frac{x\sin x}{x\cos x+\sin x}\\ &=9\lim _{x\to 0} \frac{x\cos x + \sin x}{2\cos x-x\sin x} \end {align} $$

Esto también se puede hacer con la serie Laurent (o la serie Taylor o la serie Fourier), pero eso es un poco más pesado, en teoría.

Answer 2

Solo tenga en cuenta que para$x$%,$\cot x \approx 1/x$. De lo contrario, divida los límites y considere la serie de Fourier de$\cot x$, que es $$ \ cot x = \ frac {1} {x} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1 ) ^ n 2 ^ {2n} B_ {2n}} {(2n)!} x ^ {2n - 1}. $$

Answer 3

Use la expansión de Taylor de$\tan(x)=x+\dfrac {x^3}3+o(x^3)$ y la de$\dfrac 1{1+u}=1-u+o(u)$

Usted obtiene $f(x)=\dfrac 9x-\dfrac 9{x+\dfrac {x^3}3+o(x^3)}=\dfrac 9x\left(1-\dfrac 1{1+\dfrac{x^2}3+o(x^2)}\right)=\dfrac 9x\left(1-(1-\dfrac{x^2}3+o(x^2))\right)=3x+o(x)$

Por lo tanto$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$

Answer 4

ps

ps

Consulte ¿Se pueden resolver todos los límites sin L'Hôpital Rule o Series Expansion para la primera parte?

y por el segundo$$\dfrac{\sin x-x\cos x}{x\sin x}=\dfrac{\sin x-x+x(1-\cos x)}{x\sin x}$ $