Por qué$\sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{(2n+1)!!}$ converge a$\frac{\pi}{2}$

Question

Por que:

ps

converger a$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{(2n+1)!!}$?

Sinceramente, no estoy seguro de por dónde empezar.

Answer 1

$$\sum_{n\geq 0}\frac{n!}{(2n+1)!!}=\sum_{n\geq 0}\frac{2^n n!^2}{(2n+1)\cdot (2n)!}=\sum_{n\geq 0}\frac{2^n}{(2n+1)\binom{2n}{n}}=\sum_{n\geq 0}\frac{2^n \Gamma(n+1)^2}{\Gamma(2n+2)}$$ puede ser por escrito, a través de Euler de la función Beta, también como $$ \sum_{n\geq 0}2^n\int_{0}^{1}x^n(1-x)^n\,dx = \int_{0}^{1}\frac{dx}{1-2x(1-x)}\stackrel{\text{symmetry}}{=}2\int_{0}^{1/2}\frac{2\,dx}{1+(2x-1)^2} $$ o, a través de la sustitución de $x=\frac{1-z}{2}$, como $$ \int_{0}^{1}\frac{2\,dz}{1+z^2}=2\arctan(1)=\color{red}{\frac{\pi}{2}}.$$

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Como una alternativa, usted puede notar que su serie (relacionado con la serie de Taylor de la función arcoseno) es la mitad de la de Euler transformación de Gregorio de la serie. Consulte las páginas 20-21 de mis notas, por ejemplo.

Answer 2

¿Qué hay de encontrar una función$f$ para la cual existe un$x$ tal que$f(x)=\frac{\pi}{2}$, calculando su serie de Taylor y usando la Transformada de Euler para la serie?

Comience con$a\tan(1)=\frac{\pi}{4}$ y busque la serie de Taylor de$a\tan(x)$:$$a\tan(x)=f(x) = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{(2n+1)}x^n.$ $

Ver la transformación de Euler nos da$$ \left(\frac{1}{1-x}\right)f\left(\frac{x}{1-x}\right) = \sum _{n=0}^{\infty } \left(\sum _{k=0}^n {n \choose k}\frac{(-1)^k}{(2k+1)}\right)x^n.$ $

Usando eso$$\sum _{k=0}^n {n \choose k}\frac{(-1)^k}{(2k+1)} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$ $

Vemos que la serie $$ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {n!} {(2n + 1) !!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac { (2n) !!} {(2n + 1) !!} \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ n = 2f (1) = \ frac {\ pi} {2} $$