Pregunta sobre el conjunto geodésicamente convexo

Question

Permita que$(X,d)$ sea un espacio métrico geodésico (esto significa que cada par de puntos en$X$ se unen mediante una geodésica minimizadora) y$C\subset X$ un conjunto geodésicamente convexo (dado un par de puntos en$C$ minimizar las geodésicas uniéndolas está completamente contenido en$C$).

¿Es cierto que para cualquier punto$x\in X\setminus C$ siempre hay un punto$x'\in \partial C$ (el borde de$C$) tal que$d(x,c)\ge d(x',c)$ para cada punto$c\in C$?

Answer 1

No. Hay contraejemplo :

(1) la Construcción del espacio $X$ : Considere el $B$, de la unidad de disco en $\mathbb{R}^2$. Si $C,\ D$ son isométrica a$B$, $X$ se obtiene a partir de la identificación de los límites de $C,\ D$. Aquí $C$ $X$ es geodesically convexo. (Que es intrínseco de la métrica en la $X$ es como un límite de la superficie de una moneda)

(2) En $X$, $x\in X$ s.t. $x$ no ha $x'$

Prueba : Si $x$ es el centro de la $D$, es decir,$d(x,\partial D)=1$, a continuación, supongamos que $x$ $x'$

Considere la posibilidad de un punto de $c_1\in C$, que está cerca de a $\partial C$, es decir, $$d(c_1,\partial C)=\epsilon$$

Por lo tanto $ d(x,c_1)=1+\epsilon$, de modo que $$d(x',c_1)\leq 1+\epsilon $$ (Es $x'$ no puede escapar de algunos hemisferio en $\partial C$.)

Si $c_2\in C$ s.t. $d(c_1,c_2)=2-2\epsilon$ y una geodésica $[c_1c_2]$ contiene un centro de $C$,$ d(x,c_2)=1+\epsilon$.

Por lo $d(x',c_2)$ al menos $d$, que está cerca de a $\sqrt{3}$. Por lo tanto $d(x',c_2)>d(x,c_2)$. Es una contradicción.

Explicación acerca de la $\sqrt{3}$ :$C\subset X$, por comodidad, vamos a $\epsilon=0$. Entonces $d(c_1,c_2)=2$. Desde $x'$ es de alrededor de $c_1$ $x'$ es $\partial C$, so $c_1c_2x'$ forms a right triangle. When $d(x',c_1)=1$, $d(x',c_2)$ es más pequeño.