Uso de Fermat ' s pequeño teorema para encontrar todas las raíces de los siguientes

Question

¿Estoy haciendo este problema justo?

Use el pequeño Teorema de Fermat para encontrar todas las raíces de los polinomios siguientes en $\mathbb{Z}_{7}[x]$: $2x^{74}-x^{55}+2x+6$

Si sé que el pequeño Teorema de Fermat afirma

$a^{p-1} \equiv1 \pmod{p} $

Por lo tanto si el if está usando $\mathbb{z}_{7}[x]$ podemos utilizar $a^6 \equiv1 \pmod {7}$

Que permitirá: $$2(x^{74})-(x^{55})+2x+6=$ $ $$2\Big(x^{(6*12)=72}\equiv 1 \pmod{7}\Big)x^2-\Big(x^{(6*9)=54} \equiv 1 \pmod 7\Big)x+2x+6=$ $ $$2x^2-x+2x+6=2x^2+x+6$ $

¿Estoy haciendo esto bien? Agradecería mucho cualquier comentario

Answer 1

Es obvio que $0$ no es una raíz. Si $a\ne0$ es una raíz, $$ a ^ {74} = un ^ {6\cdot12 + 2} = un ^ \qquad 2, un ^ {55} = un ^ {6\cdot9 + 1} = un $$ y por lo tanto $2a^2-a+2a+6=0$ o $2a^2+a-1=0$; la fórmula cuadrática da...