Sí, usted puede tomar, al menos, $d=1/5.$ sospecho que la respuesta correcta es $1/3,$ que es un límite superior por considerar conjuntos de poder con un gran $S.$ (Más explicación al final.)
De dos colores, rojo y verde, se puede empezar con un color rojo. Entonces, mientras menos de la mitad de los conjuntos de recibir verde, el cambio de un elemento rojo a verde. Antes de la última modificación, al menos la mitad de los conjuntos hubiera sido no-verde, por lo tanto rojo, y todos ellos terminan recibiendo rojo (y posiblemente verde). Por lo que el resultado tiene al menos la mitad de los conjuntos de la recepción de rojo, y al menos la mitad de los conjuntos de recibir verde.
Para los tres colores, comenzamos con el rojo-verde para colorear construido anteriormente. Si al menos $k/5$ conjuntos en color azul, hemos terminado. De lo contrario, al menos $2k/5$ conjuntos no son de color azul y satisfacer $r_i\geq g_i,$ o más de $2k/5$ conjuntos no son de color azul y satisfacer $g_i\geq r_i.$ En el primer caso, el cambio de un elemento rojo a azul; en el segundo caso, el cambio de un verde elemento a azul. Repita este paso hasta que, al menos, $k/5$ conjuntos son de color azul. Este procedimiento mantiene la invariantes $|R\cup B|\geq 2k/5$ $|G\cup B|\geq 2k/5,$ donde $R,G,B$ denota el conjunto de $i$ tal que $S_i$ recibe rojo, verde o azul respectivamente. Esto es debido a que el cambio de un elemento rojo a azul no puede reducir el $|G\cup B|.$
Y, al menos, $2k/5$ establece que no eran azules y satisfecho $r_i\geq g_i$, después de un cambio de rojo a azul, todavía satisfacer $r_i\geq g_i−1$$r_i\geq b_i,$, lo que les deja en $R\subseteq R\cup B.$
Sin pérdida de generalidad, el último cambio fue el de rojo a azul, y el $r_i\geq g_i$ condición asegura que habrá, al menos, $2k/5$ conjuntos de recibir rojo. Y, al menos, $k/5$ conjuntos recibirá azul, de lo contrario nos habría continuado. Antes de que el último paso tuvimos $|G\setminus B|=|G\cup B|-|B|>k/5.$, Ya que el único cambio fue de rojo a azul, vamos a tener al menos $k/5$ conjuntos de recibir verde.
Aquí es un argumento de por qué conjuntos de poder dar un $\tfrac13$ límite superior. Considere la posibilidad de un colorante que se utiliza azul de menos. Vamos a mostrar que en la mayoría de las $\tfrac13+o(1)$ conjuntos en color azul.
Considerar un subconjunto aleatorio $S_i\subseteq S$ recogido uniformemente al azar. Por lo $b_i\sim B(b,1/2)$ (distribución binomial) donde $b$ es el número de azul elementos, y de forma similar para los otros colores.
Si hay menos de $n/4$ azul elementos, por un Chernoff obligado (o teorema central del límite) podemos ver que sólo $o(1)$ conjuntos en color azul. así, podemos asumir $b\geq n/4.$
La eliminación de un elemento rojo de $S$ sólo hará $r_i$ menor o igual, por lo que no se puede reducir la fracción de conjuntos de recibir azul. Y de manera similar para el verde. Así, se puede reducir al caso donde el rojo, verde y azul, todos reciben el mismo número de elementos.
Tenemos $r_i+g_i>n/10$ con una probabilidad de $1+o(1)$ por el teorema central del límite, y condicionado a cualquier particular $r_i+g_i$ mayor que $n/10,$ caso $|r_i-g_i|>1$ probabilidad de $1+o(1),$ y de manera similar para el resto de los pares de colores. Por lo $S_i$ recibe un único color con una probabilidad de $1+o(1).$ Y condicionado a $S_i$ recibir un único color, por simetría se recibe azul con una probabilidad de $\tfrac 1 3.$
