Descomposición de fracciones parciales de $\displaystyle{\frac{2x}{(x+2)^2}}$

Question

Expresa en forma de fracción parcial: $\displaystyle{\frac{2x}{(x+2)^2}}$

Creo que es $\displaystyle{\frac{2x}{(x+2)^{2}} = \frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^2}}$

Sin embargo identificar $A$ y $B$, no sé cómo calcular A.

Por ejemplo $$2x = A\cdot (x+2) + B$$

Sustituir $x=-2$

$2\cdot(-2)$ = $A\cdot (2-2) +B$

$-4 = B$

En otras cuestiones siempre es otro factor a multiplicar por en esta etapa.

Answer 1

Si vas a reescribir $2x=A(x+2)+B$ $2x=Ax+(2A+B)$, entonces usted puede emparejar encima de los coeficientes de los polinomios (de $x$) a cada lado. Usted debe tener

$$2=A\qquad\text{and}\qquad 0=2A+B$$

Ahora solucionar para $A$ y $B$. (¡Obviamente!), la primera ecuación dice $A=2$. Obtención de $0=2\cdot2+B$, al conectar este a la segunda, obtienes $B=-4$.

Por cierto, donde escribes "$2x={A\over x+2}+{B\over(x+2)^2}$," el lado izquierdo de la ecuación deben ser $2x\over(x+2)^2$, no sólo $2x$.

Answer 2

A partir de (como escribió casi) $$\frac{2x}{(x+2)^2} = \frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^2},$ $ reescritura como $$ \frac {2 x} {(x+2) ^ 2} = \frac{A (x + 2) + B} {(x+2) ^ 2} = \frac{Ax+(2A+B)} {(x+2) ^ 2}. $$ de esto, uno ve que $2x = Ax + (2A+B)$, así que el $A=2$ y $2A+B=0$ y $B=-4$ (que deriva correctamente).

Un método alternativo, mediante sustitución, empieza otra vez desde $$\frac{2x}{(x+2)^2} = \frac{A(x+2)+B}{(x+2)^2}$ $ así que $2x = A(x+2)+B$. Sustitución de $x=-2$ da $B=-4$ y $2x = A(x+2)-4$. Ahora sustituir cualquier valor distinto de $-2$ (dice $0$) $x$, que $0 = 2A-4$, que $A=2$.

Answer 3

Puede ser de alguna manera complicado pero me encanta este tipo... $$ \quad {\frac {2 x} {(x+2) ^ 2} = \\\frac{2(x)} {(x+2) ^ 2} = \\ \frac{2(x+2)-4} {(x+2) ^ 2} = \\ \frac{2(x+2)} {(x+2) ^ 2} + \frac {-4} {(x+2) ^ 2} = \\ \frac{2}{(x+2)} + \frac {-4} {(x+2) ^ 2} \\} $$

Answer 4

De llegar a la fórmula

$$2x = A\cdot (x+2) + B$$

para reducir el problema a resolver esta ecuación polinomial para $A$ $B$ es buen comienzo para el problema. Así es la solución para que el valor de $B$.

El método que se está utilizando para resolver esta ecuación, sustituyendo $x = -2$ en su ecuación polinómica — es un acceso directo.

Usted no tiene que usar el método abreviado. (especialmente en una situación en la que no ayuda!)

Las dos opciones más comunes a seguir son:

• El uso de la definición de igualdad de polinomios. Para cada uno de los poderes de $x$, se obtiene una ecuación de la afirmación de los coeficientes en los dos lados son iguales, y usted sabe cómo resolver sistemas de ecuaciones escalares. Esta otra respuesta da más detalles.
• Enchufe, literalmente, cualquier otro valor de $x$. Usted obtiene una ecuación que ahora puede resolver por $A$.

Otra opción es que se acaba de resolver la ecuación de $A$ en el modo normal, después de la sustitución en el valor conocido de $B$. Resulta que las cosas se cancelan y se obtiene un número al final.

Answer 5

debe ser %#% $ #%