¿Se puede definir la diferencia de límites indefinidos 2?

Question

¿Es este límite definido o indefinido? $$\lim\limits_{x \to 0+} \sqrt{\frac{1}{x}+2}-\sqrt{\frac{1}{x}} Cuando aplicar la regla de la diferencia de límites, es indefinido. Pero, al manipularlo, me da cero. Y la gráfica de la función que está definida en el lado derecho.

Al multiplicar por $\frac{\sqrt{\frac{1}{x}+2}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x}+2}+\sqrt{\frac{1}{x}}}$: $$\lim\limits_{x \to 0+} \frac{\left( \sqrt{\frac{1}{x}+2}-\sqrt{\frac{1}{x}} \, \right) \left(\sqrt{\frac{1}{x}+2}+\sqrt{\frac{1}{x}} \, \right)}{\sqrt{\frac{1}{x}+2}+\sqrt{\frac{1}{x}}}

¿ $$=\lim\limits_{x \to 0+} \frac{\frac{1}{x}+2-\frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x}+2}+\sqrt{\frac{1}{x}}}$ $$$ =\lim\limits_{x \to 0+} \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x}+2}+\sqrt{\frac{1}{x}}} Luego, multiplicamos por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$: $$=\lim\limits_{x \to 0} \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{1+2x}+1} y sustituimos: %#% $ #% por lo tanto, es este límite definido o no? y ¿cuál es mi error, si alguna?

Answer 1

Recuerde que la regla que se refiere a, "la regla de la diferencia de los límites", no es sólo la ecuación $$\lim_{x\a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\a}f(x)-\lim_{x\a}g(x)$$ sino más bien la afirmación de que, si ambos de los límites en el lado derecho de esta ecuación son los números reales, entonces el límite en el lado izquierdo (también es un número real y) está dado por esta ecuación. Así que esta regla no se aplica el límite en su pregunta.

De manera más general, cuando el aprendizaje de las reglas (o teoremas o principios, o lo que puede ser llamado), no sólo aprender fórmulas, pero preste atención también a las palabras alrededor de ellos. Las palabras no son sólo decoración, pero son esenciales para la corrección de la regla.

Answer 2

Lo que hiciste es correcto. El punto es que en su forma inicial, su problema era de una forma indeterminada. Básicamente, si tenemos un límite que "parece" $\infty-\infty$ o algo así, el valor básicamente puede cualquier cosa bajo el sol. Se puede iluminar para ver el proceso a la inversa. $$0=\lim_{x\to\infty} 0=\lim_{x\to\infty}(x-x)\ne \lim_{x\to\infty} x-\lim_{x\to\infty}x"="\:\text{nonsense}.$$

Answer 3

Sólo añadir a lo que se ha dicho, un límite de la expresión que ha indefinido (o infinito), valor que no puede ser tratada como un simple real de la expresión, y por lo que técnicamente no es válida (sin sentido) manipular como si fuera un número real. Por ejemplo,$\sin(n)-\sin(n) \to 0$$n \to \infty$, pero "$\lim_{n\to\infty} \sin(n)$" en sí mismo es simplemente indefinido y es técnicamente válido incluso escribir "$\lim_{n\to\infty} \sin(n) - \lim_{n\to\infty} \sin(n)$", por no decir pregunte por su valor _{(a menos que usted quiere tener la propagación de los valores no definidos...)}.

Así que el literal de la respuesta a tu pregunta es:

La diferencia de 2 indefinidos límites no puede ser definida, por definición. _{(Incluso si desea permiso escrito potencialmente indefinido expresiones, no haría una diferencia, ya que cualquier expresión con un indefinido de la subexpresión será de por sí no definido.)}

La afirmación correcta es que es posible por la diferencia de dos expresiones tienen un límite, incluso a pesar de que ninguna de las expresiones tiene un límite (bajo las mismas condiciones de limitación).

Answer 4

Tengo el mismo toma como user21820. Su error es el tratamiento de la "no definido" como se trata de un valor cuando es realmente sólo un predicado.

Cuando escribimos $\lim_{x\to a} f(x) = L$, no es realmente una ecuación tanto como una declaración. Es una declaración acerca de $f$, $a$, y $L$, todo en uno. Cuando decimos que $\lim_{x\to a} f(x)$ no está definido, nos referimos a que $\lim_{x\to a} f(x) = L$ no es cierto para cualquier número de $L$.

Es tentador pensar que de "indefinido", como algunos la magia de la cantidad que anula los números reales. A veces, esto conduce a la verdadera declaraciones. Por ejemplo, si $\lim_{x\to a} f(x) = L$ $\lim_{x\to a} g(x)$ es indefinido, a continuación, $\lim_{x\to a} (f(x) + g(x))$ es indefinido. Usted puede ser que desee pensar de esta manera sucinta como "finito plus indefinido es igual a indefinido."

Pero también conduce a falsas declaraciones, como usted ha descubierto. Simplemente no es cierto que si $\lim_{x\to a}f(x)$ es indefinido y $\lim_{x\to a}g(x)$ es indefinido, a continuación, $\lim_{x\to a} (f(x) + g(x))$ es indefinido. El más simple contraejemplo sería si $g(x) = -f(x)$. Así que aunque usted puede ser que desee pensar a ti mismo "undefined más indefinido es igual a indefinido," este es engañosa razonamiento.

En una gran cantidad de lenguajes de programación, usted puede tener un indefinido o un valor nulo, y en algunos casos se puede combinar con otros valores. Por ejemplo, en Excel, cuando una fórmula en una celda evalúa a #NA, cualquier fórmula que utiliza la celda también evaluar a #NA. Pero no funciona de esa manera con los límites de las matemáticas.

Answer 5

Escribe $x\to 0+$, pero a menudo escrito como $x\to 0^+$. Se preguntó si su límite es definido o indefinido. Yo la voy a contestar con otra de las dos formas.

$$\lim_{x\to 0^+} \left(\sqrt{\frac{1}{x}+2}-\sqrt{\frac{1}{x}}\right)=$$

$$=\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}\cdot \sqrt{x}\right)=$$

El uso de la definición de un derivado y un límite de la multiplicación de la regla y la ley.

$$=(\sqrt{1+2x})\bigg|_{x=0^+}\cdot 0=0,$$

debido a que la derivada es un número real.

Otra forma es usar el de Newton generalizada del teorema del binomio, véase también el Binomio de la serie, que converge al $|x|<1$ pero puede divergir al $|x|\ge 1$, véase el Binomio de la serie enlace para obtener más información. $$\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}=$$

$$=\lim_{x\to 0^+}\frac{(1+2x)^{\frac{1}{2}}-1}{x}=$$

$$=\lim_{x\to 0^+}\frac{1+\frac{1}{2}2x+o(x)-1}{x}=$$

$$=\lim_{x\to 0^+}\left(1+\frac{o(x)}{x}\right)=1+0=1$$