¿Cuántas veces tienes que usar la regla de L'Hôpital?

Question

Estoy buscando casos como $$\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos(x)}{x^2}$$ que no le darán la respuesta la primera vez que utilice la regla de L'Hôpital en ellos. Por ejemplo, en este caso dará como resultado un número $\frac{1}{2}$ la segunda vez que uses la regla de L'Hôpital. Quiero ejemplos de límites como $\lim_{x \to c} \frac {f(x)}{g(x)}$ para que tengas que usar la regla de L'Hôpital $5$ tiempos, $18$ veces, o decir $n$ veces en ellos para obtener una respuesta. Otra pregunta es sobre el caso en el que se utiliza la regla de L'Hôpital tantas veces como se quiera pero siempre se termina con $\lim_{x \to 0} \frac {0}{0}$ . ¿Existe este caso?

Answer 1

Claro. ¿Quieres $18$ ¿tiempo? Entonces considere el límite $$\lim_{x\to0}\frac{x^{18}}{x^{18}}$$ o el ejemplo no trivial $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^{18})}{1-\cos(x^9)}.$$ Para el caso en el que siempre se obtiene $\frac00$ Consideremos la función $$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\begin{cases}e^{-1/x^2}&\text{ if }x\neq0\\0&\text{ if }x=0\end{cases}\end{array}$$ y el límite $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{f(x)}$$ o el ejemplo no trivial $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{f(x^2)}.$$

Answer 2

Un par de límites bastante famosos que requieren cada uno 7 aplicaciones de la regla de L'Hôpital (a menos que se evalúen por otro método) son

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \,\frac{\tan{(\sin x)} \; - \; \sin{(\tan x)}}{x^7} \;\;\; \text{and} \;\;\; \lim_{x \rightarrow 0} \, \frac{\tan{(\sin x)} \; - \; \sin{(\tan x)}}{\arctan{(\arcsin x)} \; - \; \arcsin{(\arctan x)}} \;\; $$

Estos dos límites se analizan en las referencias que se enumeran cronológicamente a continuación, con [11] siendo una generalización de la versión tan/sin y arctan/arcsin. (Ambos [10] y [11] me lo hizo saber el usuario21820). Otro límite que requiere 7 aplicaciones de la regla de L'Hôpital es el siguiente, que mencioné (de forma incorrecta, sin embargo) al final de [6] :

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \,\frac{\tan x \; – \; 24\tan \frac{x}{2} \; - 4\sin x \; + \; 15x}{x^7} $$

[1] sci.math, 13 de febrero de 2000

[2] sci.math, 16 de abril de 2000

[3] sci.math, 11 de julio de 2000

[4] sci.math, 13 de agosto de 2001

[5] sci.math, 12 de febrero de 2005

[6] sci.math, 27 de diciembre de 2007

[7] sci.math, 7 de octubre de 2008

[8] Una pregunta sobre una reclamación de V. I. Arnold , mathoverflow, 8 de abril de 2010.

[9] Cómo encontrar este límite $\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sin{(\tan{x})}-\tan{(\sin{x})}}{x^7}$ , Mathematics Stack Exchange, 2 de noviembre de 2013.

[10] Límite de $\dfrac{\tan^{-1}(\sin^{-1}(x))-\sin^{-1}(\tan^{-1}(x))}{\tan(\sin(x))-\sin(\tan(x))}$ como $x \rightarrow 0$ , Mathematics Stack Exchange, 26 de mayo de 2014.

[11] $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)} = 1$ para cualquier $f,g \in C^1$ que son tangentes a $\text{id}$ en $0$ con alguna condición simple , Mathematics Stack Exchange, 26 de mayo de 2014.

Answer 3

Para mí, la forma más sencilla (no trivial) de hacerlo es explotar las representaciones de las funciones como series de potencias. Por ejemplo, empezar con:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}.$$

Para cocinar un interesante problema de L'Hospital, reste los primeros términos de esta expansión en serie de $e^x$ y dividir por un término apropiado. Todos los siguientes son ejemplos clásicos de Cálculo I que se inspiran en la expansión en serie anterior: \begin {align*} \lim_ {x \to 0} \frac {e^x - 1}{x} & \qquad \text {(requiere 1 uso de L'H)} \\ \lim_ {x \to 0} \frac {e^x - 1- x}{x^2} & \qquad \text {(requiere 2 usos de L'H)} \\ \lim_ {x \to 0} \frac {e^x - 1 - x - \frac {x^2}{2}}{x^3} & \qquad \text {(requiere 3 usos de L'H)} \end {align*} y así sucesivamente. Puede elegir cualquier función que desee en lugar de $e^x$ Por supuesto, siempre que tenga suficientes derivados con los que jugar.

También se puede utilizar este enfoque para cocinar ejemplos un poco más interesantes. Por ejemplo, podríamos restar los términos apropiados de $e^x$ y $\cos(x)$ para conseguir que sus expansiones de serie sean $Cx^2 + [\text{lower order terms}]$ . Específicamente, $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{\cos(x)- 1 }$$ tiene un límite no nulo y requiere dos usos de la regla de L'Hospital. Si quisiéramos cuatro, podríamos haber restado el $x^2$ y $x^3$ términos de la $e^x$ expansión y la $x^2$ término de la $\cos(x)$ expansión.

Lo que me gusta de este enfoque:

1. Los ejemplos no son triviales, en el sentido de que ninguna técnica algebraica elemental le evitará tener que utilizar la regla de L'Hospital.
2. Se puede saber inmediatamente cuántos usos de la regla de L'Hospital serán necesarios.
3. Creo que transmite algo importante tanto sobre las representaciones en serie de Taylor de las funciones y sobre cómo funciona la regla de L'Hospital.

Answer 4

Para el " $\frac{\infty}{\infty}$ "En el caso de que sólo se utilice la regla de L'Hôpital y no se cambie la fracción entre sus sucesivas aplicaciones, entonces uno de los ejemplos simples no triviales sin fin de muchos libros de texto es $$\lim_{x\to0+}\frac{\ln x}{\cot x}$$ .

Answer 5

Se pueden construir ejemplos sencillos (aburridos) con bastante facilidad utilizando polinomios. Un ejemplo muy trivial es $\frac{x^n}{x^n}$ . Para el caso de que nunca funcione, sustituya $x^n$ con la función interesante: $e^{\frac{-1}{x^2}}$ .