¿Cuántas veces tienes que usar la regla de L'Hôpital?

Question

Estoy buscando casos como $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}$$ que no te darán la respuesta la primera vez que uses la regla de L'Hôpital. Por ejemplo, en este caso resultará en un número $\frac{1}{2}$ la segunda vez que uses la regla de L'Hôpital. Quiero ejemplos de límites como $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ para que tengas que usar la regla de L'Hôpital $5$ veces, $18$ veces, o decir $n$ veces en ellos para obtener una respuesta. Otra pregunta es sobre el caso en el que uses la regla de L'Hôpital tantas veces como desees pero siempre termines con $\lim_{x \to 0} \frac{0}{0}$. ¿Existe este caso?

Answer 1

¡Claro! ¿Quieres $18$ veces? Entonces considera el límite $$\lim_{x\to0}\frac{x^{18}}{x^{18}}$$ o el ejemplo no trivial $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^{18})}{1-\cos(x^9)}.$$ Para el caso en el que siempre obtienes $\frac00$, considera la función $$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\begin{cases}e^{-1/x^2}&\text{ si }x\neq0\\0&\text{ si }x=0\end{cases}\end{array}$$ y el límite $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{f(x)}$$ o el ejemplo no trivial $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{f(x^2)}.$$

Answer 2

Un par de límites bastante famosos que requieren 7 aplicaciones de la regla de L'Hôpital (a menos que se evalúen por otro método) son

$$\lim_{x \rightarrow 0} \,\frac{\tan{(\sin x)} \; - \; \sin{(\tan x)}}{x^7} \;\;\; \text{y} \;\;\; \lim_{x \rightarrow 0} \, \frac{\tan{(\sin x)} \; - \; \sin{(\tan x)}}{\arctan{(\arcsin x)} \; - \; \arcsin{(\arctan x)}} \;\;$$

Estos dos límites se discuten en las referencias enlistadas cronológicamente a continuación, con [11] siendo una generalización de la versión de tangente/seno y arco tangente/arco seno. (Tanto [10] como [11] fueron señalados por el usuario21820.) Otro límite que requiere 7 aplicaciones de la regla de L'Hôpital es el siguiente, que mencioné (de manera incorrecta, sin embargo) al final de [6]:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \,\frac{\tan x \; – \; 24\tan \frac{x}{2} \; - 4\sin x \; + \; 15x}{x^7}$$

[1] sci.math, 13 de febrero de 2000

[2] sci.math, 16 de abril de 2000

[3] sci.math, 11 de julio de 2000

[4] sci.math, 13 de agosto de 2001

[5] sci.math, 12 de febrero de 2005

[6] sci.math, 27 de diciembre de 2007

[7] sci.math, 7 de octubre de 2008

[8] Una pregunta sobre una afirmación de V. I. Arnold, mathoverflow, 8 de abril de 2010.

[9] Cómo encontrar este límite $\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sin{(\tan{x})}-\tan{(\sin{x})}}{x^7}$, Mathematics Stack Exchange, 2 de noviembre de 2013.

[10] Límite de $\dfrac{\tan^{-1}(\sin^{-1}(x))-\sin^{-1}(\tan^{-1}(x))}{\tan(\sin(x))-\sin(\tan(x))}$ cuando $x \rightarrow 0$, Mathematics Stack Exchange, 26 de mayo de 2014.

[11] $\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)} = 1$ para cualquier $f,g \in C^1$ que sean tangentes a $\text{id}$ en $0$ con alguna condición simple, Mathematics Stack Exchange, 26 de mayo de 2014.

Answer 3

Para mí, la forma más sencilla (no trivial) de hacer esto es aprovechar las representaciones de las funciones como series de potencias. Por ejemplo, comencemos con:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}.$$

Para plantear un problema interesante de L'Hopital, resta los primeros términos de esta expansión en serie de $e^x$ y divide por un término apropiado. Todos los siguientes son ejemplos clásicos de Cálculo I que están inspirados en la expansión de la serie anterior: $$\begin{align*}\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} &\qquad \text{(requiere 1 uso de L'H)} \\ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1- x}{x^2} &\qquad \text{(requiere 2 usos de L'H)} \\ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3} &\qquad \text{(requiere 3 usos de L'H)} \end{align*}$$ y así sucesivamente. Puedes elegir cualquier función que desees en lugar de $e^x, por supuesto, siempre y cuando tenga suficientes derivadas para jugar.

También puedes usar este enfoque para generar ejemplos un poco más interesantes. Por ejemplo, podríamos restar los términos apropiados de $e^x$ y $\cos(x)$ para que sus expansiones en serie sean $Cx^2 + [\text{términos de órden inferior}]$. Específicamente, $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{\cos(x)- 1 }$$ tiene un límite distinto de cero y requiere dos usos de la regla de L'Hopital. Si quisiéramos cuatro, podríamos haber restado los términos $x^2$ y $x^3$ de la expansión de $e^x$ y el término $x^2$ de la expansión de $\cos(x)$.

Lo que me gusta de este enfoque:

1. Los ejemplos no son triviales, en el sentido de que ninguna técnica algebraica elemental te salvará de tener que usar la regla de L'Hopital.
2. Puedes saber de inmediato cuántos usos de la regla de L'Hopital serán necesarios.
3. Creo que transmite algo importante tanto sobre las representaciones de funciones en series de Taylor como sobre cómo funciona la regla de L'Hopital.

Answer 4

Para el caso de "$\frac{\infty}{\infty}$", si solo usas la regla de L'Hôpital y no cambias tu fracción entre sus aplicaciones sucesivas, entonces uno de los simples ejemplos no triviales y que nunca terminan de muchos libros de texto es $$\lim_{x\to0+}\frac{\ln x}{\cot x}$$ .

Answer 5

Puedes construir ejemplos simples (aburridos) bastante fácilmente usando polinomios. Un ejemplo muy trivial es $\frac{x^n}{x^n}$. Para el caso nunca funciona, reemplaza $x^n$ con la función interesante: $e^{\frac{-1}{x^2}}$.