Una función simétrica

Question

Mientras se trabaja en un problema de investigación en la métrica fuzzy espacios, me encontré con una especial función simétrica $F_n:X^n\times (0,\infty)\to [0,1]$ es decir
\begin{equation*} F_n(x_1,x_2,\dots,x_n,t)=F_n(x_{\pi(1)},x_{\pi(2)},...,x_{\pi(n)},t) \end{ecuación*} para cada permutación $\pi$ $\{1,2,...,n\}$ tal que

\begin{equation*} [F_n(x_1,x_2,...,x_n,t)]^{n-2}=\prod_{1\le i_1<i_2<\dots<i_{n-1}\le n} F_{n-1}(x_{i_1},x_{i_2},\dots x_{i_{n-1}},t) \end{ecuación*} Donde $[F_n]^m=F_n\ast F_n\ast\dots(m \quad\text{times})$, $\ast$ continua $t$-norma.

Estoy interesado en encontrar una relación entre el$F_n(x_1,x_2,\dots,x_n,t)$$F_2(x_i,x_j,t), (1\le i<j\le n$). Cualquier sugerencia sobre cómo aproximación al problema?

Nota: Aquí es algo similar situación en la teoría de grafos. si tomamos $F_n$ como la suma de todas las distancias de $d(x_i,x_j),1\le i<j\le n$ entre los diferentes pares de vértices $x_i$ $x_j$ de un grafo completo $K_n$ con conjunto de vértices $X=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$. A continuación, $F_n:X^n\to \mathbb{R}$ representa una función simétrica en las variables de $x_1,x_2,\dots,x_n\in X$ tal que \begin{equation} (n-2)F_n(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{1\le i_1<i_2<\dots<i_{n-1}\le n} F_{n-1}(x_{i_1},x_{i_2},\dots x_{i_{n-1}}) \end{equation} Y Tenemos \begin{equation} F_n(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{1\le i<j\le n} F_2(x_i,x_j) \end{equation}

Answer 1

Podemos demostrar que para cada una de las $t$

$\mbox{(1) } F_n(x_1,x_2,...,x_n,t)]^{(n-2)!}=\left[\prod_{1\le i<j\le n} F_2(x_i,x_j,t)\right]^{(n-2)!}$

incluso sin la simetría de la asunción por el recto a la inducción por $n$, a partir de $n=3$. Para $n=3$ de la Demanda (1) es la misma que la condición de la conexión de las funciones de $F_{n}$ $F_{n-1}$ (entiendo que los productos con respecto a la operación binaria $*$). Supongamos que ya hemos demostrado la Afirmación (1) por un número $n-1$. Entonces

$$[F_n(x_1,x_2,...,x_n,t)]^{(n-2)!}=\a la izquierda[\prod_{1\le i_1<i_2<\dots<i_{n-1}\le n} F_{n-1}(x_{i_1},x_{i_2},\dots x_{i_{n-1}},t)\right)^{(n-3)!}= \prod_{1\le i<j\le n} [F_2(x_i,x_j,t)]^{ (n-2)!}$$ (this follows from the commutativity and associativity of the operation $*$) and a remark that each pair $(i,j)$ ($i<j$) is in exactly $n-2$ sequences $(i_1,\dots,i_{n-1})$ where $1\le i_1<\dots<i_{n-1}\le n$, that is in all such sequences except $(1,\dots,\hat{i},\dots,j,\dots,n-1,n)$ and $(1,\puntos, i,\dots, \hat{j},\dots,n-1,n)$, where $\hat{k}$ means that the number $k$ es omitido de la secuencia.

Si para cada una de las $n>0$ una función de $a\mapsto [a]^n$ es estrictamente monótona, entonces podemos colocar los poderes y obtener que

$$F_n(x_1,x_2,...,x_n,t)=\prod_{1\le i<j\le n} F_2(x_i,x_j,t).$$