Ejemplo de un submódulo de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ que no es un sumando directo

Question

Llamaremos a un submódulo $A$ un sumando directo de $K$ si existe un submódulo $B$ tal que $A \oplus B = K$ . Creo que esta es una pregunta que puede ser formulada en términos de rango de un sumbmódulo libre adecuado pero no estoy seguro de cómo plantearla.

Considere la $\mathbb{Z}$ -Módulo $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ . ¿Hay algún ejemplo de dos submódulos de $A,B$ de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ tal que $A$ y $B$ son sumandos directos de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ pero $A+B$ no es un sumando directo de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ ?

Primero pensé que $\mathbb{Z}\oplus 0$ y $ 0 \oplus \mathbb{Z}$ era un ejemplo hasta que me di cuenta de que cada módulo es un sumando directo de sí mismo...

Answer 1

He aquí una forma un poco más culta de decir lo que dice Mariano. Un vector $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ abarca un sumando directo si y sólo si es primitivo, es decir, no divisible por ningún entero que no sea $\pm 1$ . Sin embargo, dos vectores linealmente independientes $(a,b)$ y $(c,d)$ abarcan un sumando directo de $\mathbb{Z}^2$ (que necesariamente debe ser $\mathbb{Z}^2$ sí mismo) si y sólo si el determinante de la matriz $\left( \begin{array}{cc} a & c\\b & d \end{array}\right)$ es $\pm 1$ . Esta es una propiedad muy especial. Si escribes dos vectores primitivos al azar, probablemente obtendrás un determinante enorme.

Answer 2

$\newcommand\ZZ{\mathbb Z}$ Todo subgrupo de $\ZZ\oplus\ZZ$ generado por un elemento de la forma $(x,y)$ con $x$ ,~ $y\in\ZZ$ coprima es un sumando directo. Utilizando esto, es fácil dar ejemplos de subgrupos que son sumandos directos. Por ejemplo, de aquí se deduce que los subgrupos $A$ y $B$ generado por $(2,3)$ y por $(2,5)$ son sumandos directos de $\ZZ\oplus\ZZ$ .

Ahora, es fácil comprobar que $$ \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -3 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array} \right). $$ (Encontré esta factorización utilizando un Forma normal de Smith aplicación) Como consecuencia de esto, vemos que la imagen del mapa $$\left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} \right):\ZZ^2\to\ZZ^2$$ tiene índice $4$ en su codominio, de modo que el subgrupo $A+B$ no es un sumando.