Demostrando que ${\rm E}[X]=\sum_{k=0}^\infty P(X>k)$ para una variable aleatoria discreta

Question

Sea $X$ sea una variable aleatoria discreta cuyo rango es $0,1,2,3,\ldots$ . Demostrar que $$ {\rm E}[X]=\sum_{k=0}^\infty P(X>k). $$

¿Cómo demostrarlo? Lo he intentado un poco pero no he podido publicar debido a un problema de formato. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

\begin{align*}\mathbb E[X]=&\,\sum_{k=0}^{\infty}k\cdot\mathbb P(X=k)\\ =&\,\mathbb P(X=1)\\ +&\,\mathbb P(X=2)+\mathbb P(X=2)\\ +&\,\mathbb P(X=3)+\mathbb P(X=3)+\mathbb P(X=3)\\ +&\,\mathbb P(X=4)+\mathbb P(X=4)+\mathbb P(X=4)+\mathbb P(X=4)\\ +&\,\cdots \end{align*} Ahora, prueba a sumar verticalmente en lugar de horizontalmente. La suma de la primera columna será $$\sum_{k=1}^{\infty}\mathbb P(X=k)=\mathbb P(X>0).$$ La suma de la segunda columna será $$\sum_{k=2}^{\infty}\mathbb P(X=k)=\mathbb P(X>1).$$ La suma de la tercera columna será $$\sum_{k=3}^{\infty}\mathbb P(X=k)=\mathbb P(X>2)$$ etc. Por lo tanto, $$\mathbb E[X]=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb P(X>k)$$ como se afirma.

Answer 2

Sugerencia: Escriba $$\begin{matrix} P(X>0) &= &P(X=1) &+ &P(X=2) &+ &P(X=3) &+ &P(X=4) &+ &\cdots\\ P(X>1) &= & & & P(X=2) &+& P(X=3) &+ &P(X=4) &+ &\cdots\\ P(X>2) &= & & & && P(X=3) &+ &P(X=4) &+ &\cdots\\ P(X>3) &= & & & & & & &P(X=4) &+ &\cdots\\ \vdots &\vdots \end{matrix}$$ A continuación, suma cada columna para obtener $$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty P(X>k) = P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3) + 4P(X=4)+\cdots$$

Answer 3

Lo siguiente es probablemente lo suficientemente formal para sus propósitos. En aras de la brevedad $p_i=\Pr(X=i)$ . Entonces $$E(X)=p_1+2p_2+3p_3+4p_4+5p_5+6p_6+\cdots.\tag{1}$$ Vamos a restar $p_1+p_2+p_3+p_4+\cdots$ del lado derecho de (1). Así que hemos restado $\Pr(X\gt 0)$ . Concluimos que $$E(X)=\Pr(X\gt 0)+p_2+2p_3+3p_4+4p_5+\cdots.\tag{2}$$ Resta $p_2+p_3+p_4+p_5+\cdots$ del lado derecho de (2). Así que estamos restando $\Pr(X\gt 1)$ y concluimos que $$E(X)=\Pr(X\gt 0)+\Pr(X\gt 1)+p_3+2p_4+3p_5 +\cdots. \tag{3}$$ Resta $p_3+p_4+p_5+\cdots$ del lado derecho de (3). Así que estamos restando $\Pr(X\gt 2)$ y concluir que $$E(X)=\Pr(X\gt 0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)+p_4+2p_5+\cdots. \tag{4}$$ Continúa para siempre.

Hay un argumento más persuasivo, que implica más la suma que la resta.
En una línea escriba $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+\cdots$ .

En la línea siguiente, escriba $p_2+p_3 +p_4+p_5+\cdots$ alineando el $p_2$ con el $p_2$ en la línea anterior, el $p_3$ con el $p_3$ etc.

En la línea siguiente, escriba $p_3+p_4+p_5+\cdots$ alineando el $p_3$ con los anteriores, el $p_4$ con el $p_4$ etc.

Y así sucesivamente.

En columna sumas dan $E(X)$ .

En fila sumas dan $\Pr(X\gt 0)$ , $\Pr(X\gt 1)$ , $\Pr(X\gt 2)$ etc.

Answer 4

En condiciones adecuadas para intercambiar dos series, tenemos \begin{align} \sum_{k=0}^\infty\mathbb{P}(X>k) = \sum_{k=0}^\infty\sum_{x=0}^\infty\mathbb{1}_{\{x>k\}}\mathbb{P}(X=x) = \sum_{x=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\mathbb{1}_{\{x>k\}}\mathbb{P}(X=x) = \sum_{x=0}^\infty\sum_{k=0}^x\mathbb{P}(X=x) = \mathbb{E}(X). \end{align} La prueba está completa.