Demostrar que $x^2+1$ es reducible en $\mathbb{Z}_p[x]$ si y sólo si existe enteros $a$ $b$ tal que $a+b=p$$ab \equiv 1 \pmod{p}$. (Aquí se $\mathbb{Z}_p$ significa que los enteros modulo de un primer $p$).
Estoy teniendo problemas con la 'sólo si' la dirección de esta prueba, el 'si' dirección es bastante trivial. Después de asumir $f$ es reducible, he sido capaz de utilizar el Teorema de Factor para mostrar que $f$ es de la forma$f(x)=c(x-a)(x-b)$$a,b,c \in \mathbb{Z}_p$, lo $x^2+1=cx^2-c(a+b)x+c(ab)$. La comparación de los coeficientes, podemos ver que $c=1$, por lo que debemos tener $ab=1$$a+b=0$, por lo tanto, $a+b \equiv 0 \pmod{p}$$ab \equiv 1 \pmod {p}$. Id como para mostrar que $a+b=p$. Este parece ser el caso, pero estoy teniendo dificultades para probar.
Está bien para asumir ese $a<p$ $b<p$ (ya que son elementos de $\mathbb{Z}_p$), y suponer sin pérdida de generalidad que $a\leq b$, por lo que el $a\leq b < p$, y usar esto para deducir que si $a+b=\alpha p$ algunos $\alpha \in \mathbb{Z}$$\alpha \geq 0$, entonces tenemos que tener en $\alpha =1$?
Quiero decir algo como, si bien $a=0$ o $b=0$,$ab \equiv 0 \pmod{p}$, una contradicción, por lo que debemos tener $a+b\geq 2$, por lo que no podemos tener $\alpha=0$. Si $2\leq \alpha$, entonces a partir de la $a\leq b < p$,$a+b<p+b<2p\leq \alpha p$, contradiciendo el hecho de que $a+b=\alpha p$, por lo que debemos tener $\alpha =1$. Tengo un fuerte sentimiento estoy-pensando en este problema, gracias de antemano por cualquier ayuda!
