Irreductibilidad de $X^{p-1} + \cdots + X+1$

Question

¿Alguien me puede dar una pista como la irreductibilidad de $X^{p-1} + \cdots + X+1$, donde $p$ es un prime, en $\mathbb{Z}[X]$?

Nuestro profesor nos dio ya, es decir, a sustituir $X$ $X+1$, pero no podíamos hacer mucho de eso.

Answer 1

Sugerencia: Indicar $f(x)=x^{p-1}+...+x+1$, $f(x)$ es irreducible iff $f(x+1)$, pero este último es irreducible por Eisenstein (tenga en cuenta que $f$ es irreducible de la iff racionales es irreducible sobre los números enteros, por Gauss).

Answer 2

Sugerencia $\ $ Recordar que Eisenstein Criterio se aplica a los polinomios que tienen forma de $\rm\ f\ \equiv\ x^n\pmod p.\:$ a Pesar de que el polinomio $\rm\ f\ =\ (x^p-1)/(x-1)\ $ no es de esa forma, es muy estrecha, es decir, por Frobenius/estudiante de Primer año de Ensueño, $\rm\ f\ \equiv\ (x-1)^p/(x-1) \equiv (x-1)^{p-1}\!\pmod{p}.\:$ Eisenstein del Criterio que se puede aplicar si usted puede encontrar un mapa de $\ \sigma\ $ que envía a $\rm\ (x-1)^{p-1} $ a una potencia de $\rm\ x\ $,, $\ \sigma\ $ conserva factorizations $\rm\ \sigma(gh)\ =\ \sigma g\cdot \sigma h\ $ (por lo que uno puede retirada de la irreductibilidad de $\rm\ \sigma\:f\ $ $\rm\:f).\:$

Comentario $\ $ La historia de el criterio es a la vez interesante e instructivo. $\:$ Para este ver a David R. Cox, ¿por Qué Eisenstein demostrado que el criterio de Eisenstein y por qué Schönemann lo descubrió primero.

De arriba es el prototipo de transformación basado en la resolución de problemas. Considere el caso análogo de la solución de ecuaciones cuadráticas. Uno sabe cómo resolver el simple caso especial $\rm\ x^2 = a\ $ tomando raíces cuadradas. Para resolver el general cuadrática buscamos una invertible transformación que reduce el general cuadrática para este caso especial. La solución, denominada completar el cuadrado, es bien conocida. Para otro ejemplo, véase esta prueba del Teorema de Factor $\rm\:x\!-\!c\:|\:p(x)\!-\!p(c),\:$ que se reduce a la "obvia" caso especial " $\rm\:c=0\:$ a través de un cambio automorphism $\rm\:x\to x+c.\:$ La estrategia de resolución de problemas anteriormente es completamente análogo. Buscamos las transformaciones que el mapa de polinomios en los formularios donde Eisenstein criterio se aplica. Pero también exigimos que la transformación de preservar la estructura innata - aquí multiplicativo de la estructura (por lo que el $\rm\:\sigma\:f\:$ irreductible $\Rightarrow$ $\rm\:f\:$ irreductible).

El empleo de transformación basado en estrategias de resolución de problemas tiene la gran ventaja de que uno puede transformar teoremas, pruebas, criterios, etc, en una simple reducción o "normal" de forma que sea fácil de recordar o de aplicar y, a continuación, utilizar el ambiente simetrías o transformaciones para masajear cualquier ejemplo a la forma normal. Esta estrategia es omnipresente a lo largo de las matemáticas (y en muchas otras ciencias). Para numerosos ejemplos interesantes de ver Zdzislaw A. Melzak el libro de Evita: un enfoque simple para la complejidad, de 1983, que sirve como un excelente compañero para Polya los libros de matemática de resolución de problemas.

Answer 3

Sugerencia: Que $y=x-1$. Tenga en cuenta que nuestro polinomio es $\dfrac{x^p-1}{x-1}$, $\dfrac{(y+1)^p-1}{y}$.

No es difícil demostrar que $\binom{p}{k}$ es divisible por $p$ si $0\lt k\lt p$. Ahora utilice el criterio de Eisenstein.