¿Cuando el anillo de endomorfismos de un Grupo abeliano es generado por automorfismos?

Question

Dado un grupo abelian $M$. En primer lugar me gustaría saber si $\text{End}(M)$ es generado por $\text{Aut}(M)$ (como el anillo, o, equivalentemente, como aditivo de grupo). Segundo me gustaría saber si no se mantienen en general, a continuación cuál es la condición que garantiza que se va.

Supongo que tiene al menos al $M/\text{Tor}(M)$ es un servicio gratuito de abelian grupo. Y bajo esta restricción, es suficiente con considerar abelian $p$-grupos y libre de grupos. He conseguido demostrar que siempre es gratis abelian grupos de rango finito. Pero no puedo probar el caso de abelian $p$-grupos y libre en general abelian grupos.

Answer 1

Esto no es cierto para $M=C_2\times C_4$.

Deje $x$ $y$ ser generadores de los dos factores. A continuación, cada endomorfismo $\varphi$ es de la forma $$\begin{align} \varphi(x)&=ax+2by\\ \varphi(y)&=cx+dy \end{align}$$ para los números enteros $a,b,c$ determinado$\pmod{2}$ $d$ determinado$\pmod{4}$. Pero si $\varphi$ es un automorphism, a continuación, $\varphi(y)$ orden $4$, y por lo $d$ es impar. Pero, a continuación, $a$ también es impar, o de lo $\varphi(x)=2by$ es un múltiplo de a $\varphi(y)$.

Así que para todos los automorfismos, y por lo tanto todos endomorphisms que son sumas de automorfismos, $a+d$ debe ser impar. Así, en particular, la proyección en cualquiera de factor no está en el subgrupo de $\operatorname{End}(M)$ generado por $\operatorname{Aut}(M)$.

Pero este ejemplo parece muy especial a $p=2$

EDIT: parece que Existe bastante literatura sobre este problema que se remonta a la década de 1950. Ver por ejemplo este de 2006, papel por el C. Meehan, especialmente la introducción y referencias. Algunas de las cosas que parece ser conocido: libre abelian grupos de rango arbitrario tienen esta propiedad (de hecho, cada endomorfismo es la suma de a lo más dos automorfismos), y finito abelian $p$-grupos de $p>2$ tiene la propiedad. No parece ser cierto para abelian $p$-grupos en general, incluso cuando se $p>2$, pero no es una propiedad ("total projectivity") que implica para $p>2$.