Determinar la suma de la serie $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

Question

Tengo el siguiente problema,

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$

Y trato de trabajar de la siguiente manera:

Pista: Descomposición de fracciones parciales:

$\begin{aligned} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} &= \frac{a}{n}+\frac{b}{(n+1)}+\frac{c}{(n+2)}\\ &= \frac{a(n+1)(n+2)}{n}+\frac{b(n)(n+2)}{(n+1)}+\frac{c n(n+1)}{(n+2)}\\ &= \frac{(a+b+c)n^2+(a3+2b+c)n+2a}{n(n+1)(n+2)} \end{aligned}$

$\begin{alignat}{7} a &&\; + \;&& b &&\; - \;&& c &&\; = \;&& 0 & \\ 3a &&\; + \;&& 2b &&\; + \;&& c &&\; = \;&& 0 & \\ 2a &&\; + \;&& 0b &&\; + \;&& 0c&&\; = \;&& 1 & \end{alignat} $

$$a = \frac{1}{2}; b = -1; c = \frac{1}{2};$$ $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}(\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+2)})-\frac{1}{(n+1)}$$

lo que sigue:

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty(\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+2)})-\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(n+1)}$$

Y ahora, ¿cómo puedo continuar?

Nota: He encontrado una posible solución en suma de series infinitas con telescopios pero no encuentro una respuesta clara. ¿Pueden ayudarme? Gracias.

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Como resumen después de las respuestas:

Tenemos

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}(\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+2)})-\frac{1}{(n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(n+2)}-\frac{1}{(n+1)}\right) $

En consecuencia: $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}\underbrace{\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}\right)}_{\text{telescoping sums}}+\frac{1}{2}\underbrace{\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{(n+2)}-\frac{1}{(n+1)}\right)}_{\text{telescoping sums}}= $$

$$\frac{1}{2}\cdot\lim\limits_{N \rightarrow \infty}{(1-\frac{1}{N+1})}+\frac{1}{2}\cdot\lim\limits_{N \rightarrow \infty}{(\frac{1}{N+2}-\frac{1}{2})} =\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = $$

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{4}$$

Gracias a todos por sus respuestas.

Answer 1

Sugerencia . Puede escribir $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(n+2)}-\frac{1}{(n+1)}\right) $$ dando dos telescópico sumas $$ \sum_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2(N+1)}+\frac{1}{2(N+2)}-\frac{1}{4}. $$

Answer 2

Usando la regla de Euler función beta , $$S=\sum_{k\geq 1}\frac{(k-1)!}{(k+2)!}=\sum_{k\geq 1}\frac{\Gamma(k)}{\Gamma(k+3)}=\frac{1}{2}\sum_{k\geq 1}B(k,3)$$ por lo tanto: $$ S = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-x)^2\sum_{k\geq 1}x^{k-1}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-x)\,dx = \color{red}{\frac{1}{4}}. $$ Una generalización directa de este enfoque da la identidad: $$ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+N)}=\color{red}{\frac{1}{N\cdot N!}}.$$