¿Método rápido para encontrar valores propios y vectores propios en la matriz simétrica $5 \times 5$?

Question

La matriz $B$:

$B = \pmatrix{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 8 & 0 & -8 & 0 \cr 0 & 0 & 8 & 0 & -8 \cr 0 & -8 & 0 & 8 & 0 \cr 0 & 0 & -8 & 0 & 8 \cr }$

Que tiene un valor distinto de cero autovalores $\lambda_1=16$ $\lambda_2=16$ y los correspondientes vectores propios:

v$_1 = \pmatrix{ 0\cr \frac{1}{2} \sqrt2 \cr 0 \cr -\frac{1}{2} \sqrt2 \cr 0\cr }$ and v$_2 = \pmatrix{ 0\cr 0\cr \frac{1}{2} \sqrt2 \cr 0 \cr -\frac{1}{2} \sqrt2 \cr }$

¿Cuál es el método para la obtención de estos valores propios y sus correspondientes vectores propios?

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Es una gran matriz y tengo la esperanza de que hay algún tipo de truco fácil para él. Por lo que puedo recordar de eigen descomposición, normalmente, me gustaría hacer:

$Ax = \lambda x \implies|A-\lambda I|x = 0$

$\implica \det \pmatrix{ 0-\lambda & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 8-\lambda & 0 & -8 & 0 \cr 0 & 0 & 8-\lambda & 0 & -8 \cr 0 & -8 & 0 & 8-\lambda & 0 \cr 0 & 0 & -8 & 0 & 8-\lambda \cr }$ $\pmatrix{ x_1 \cr x_2 \cr x_3 \cr x_4 \cr x_5 \cr }$ = $\pmatrix{ 0 \cr 0 \cr 0 \cr 0 \cr 0 \cr }$

Por lo que el factor determinante es

$\implica -\lambda \det \pmatrix{ 8-\lambda & 0 & -8 & 0 \cr 0 & 8-\lambda & 0 & -8 \cr -8 & 0 & 8-\lambda & 0 \cr 0 & -8 & 0 & 8-\lambda \cr }$

$\implica -\lambda * [ (8- \lambda)\det \pmatrix{ 8-\lambda & 0 & -8 \cr 0 & 8-\lambda & 0 \cr -8 & 0 & 8-\lambda \cr }-8 \det \pmatrix{ 0 & 8-\lambda & -8 \cr -8 & 0 & 0 \cr 0 & -8 y 8-\lambda \cr }]$

etc.

Tiene que haber una manera más fácil?

Answer 1

Sugerencia: si $A$ y $B$ son cuadradas del mismo orden, $$\det\begin{pmatrix} A & B \\ B & A\end{pmatrix}=\det(A-B)\det(A+B)$ $ ajuste tan % $ $$A=\begin{pmatrix}8-\lambda & 0 \\ 0 & 8-\lambda\end{pmatrix}$

y

$$B=\begin{pmatrix}-8 & 0\\0&-8\end{pmatrix}$$

muestra que es el determinante de la matriz de $4\times 4$ $(16-\lambda)^2\lambda^2$, y por lo tanto el determinante de la matriz original es %#% $ #%

Answer 2

He aquí una forma rápida de hacer el problema.

Podemos escribir esto como un bloque de la matriz de la siguiente forma: $$ B = \pmatrix{ 0&0&0\\ 0&8I&-8I\\ 0&-8I&8I } = 8\pmatrix{ 0&0&0\\ 0&I&-I\\ 0&-I&I } $$ $B$ es un bloque diagonal de la matriz; a una cuadra de es $0$ (correspondiente a un autovalor de a$0$, con la correspondiente autovector $[1,0,0,0,0]^T$), y el otro bloque es $8 \pmatrix{I&-I\\-I&I}$. Basta con encontrar los autovalores de a $A = \pmatrix{I&-I\\-I&I}$ y multiplicar el resultado por $8$.

De hecho, si usted es consciente del tensor de productos, usted puede notar que $A = \pmatrix{1&-1\\-1&1} \otimes I$ (de hecho, voy a ser indirectamente a la explotación de este).

Tenga en cuenta que la matriz de $\pmatrix{1&-1\\-1&1}$ tiene los autovalores $0$,$2$ y los correspondientes vectores propios $[1,1]^T$$[1,-1]^T$.

Ahora, supongamos que el $v$ es un autovector de a $I$ (en otras palabras, vamos a $v$ ser cualquiera distinto de cero $2 \times 2$ vector). Nos encontramos con que $$ Un \pmatrix{v\\v} = 0 $$ y $$ Un \pmatrix{v\\-v} = \pmatrix{2v\\-2v} $$ Así se puede establecer que el $A$ tiene vectores propios $0,0,2,2$ correspondientes autovectores podemos tomar, por ejemplo, $$ v_{0,1} = \pmatrix{1\\0\\1\\0}; v_{0,2} = \pmatrix{0\\1\\0\\1}; v_{2,1} = \pmatrix{1\\0\\-1\\0}; v_{2,2} = \pmatrix{0\\1\\0\\-1} $$

La multiplicación de los vectores propios de a$A$$8$, observamos que la matriz $B$ tiene vectores propios $0,0,0,16,16$. Podemos tomar los vectores propios $$ \pmatrix{1\\0\\0\\0\\0}; \pmatrix{0\\1\\0\\1\\0}; \pmatrix{0\\0\\1\\0\\1}; \pmatrix{0\\1\\0\\-1\\0}; \pmatrix{0\\0\\1\\0\\-1} $$

Answer 3

Por simple matrices, a menudo se pueden encontrar los autovalores y autovectores por la observación. Una vez que usted supongo que un autovalor, su fácil encontrar el vector propio resolviendo el sistema lineal $(A-\lambda I)x=0$. Aquí, usted ya sabe que la matriz es de rango deficiente, ya que una columna es cero. (El correspondiente vector propio es $[1~0~0~0~0]^T$.) Por lo $\lambda=0$ es un autovalor.

También, si usted puede adivinar el autovector (hasta un constante) mirando en la estructura de $(A-\lambda I)$, usted puede encontrar el correspondiente autovalor. Aquí, una posibilidad es $k[0~1~1~1~1~1]^T$, ya que la suma de las columnas de a $A$ le da un vector de ceros. La correspondiente autovalor es cero. Por lo tanto, 0 tiene multiplicidad 2.

Otra forma de obtener ceros es restando la 4ª columna de la 2ª columna (con $\lambda=16$). El autovector es $k[0~1~0~-1~0~0]^T$. $k$ se puede encontrar por la normalización como $1/\sqrt{2}$. Nosotros del mismo modo obtener su segundo autovector considerando los 3 y 5 columnas.

Ahora que sabemos que 4 de los 5 valores propios y vectores propios, la última es fácil de encontrar mediante el autovalor de la descomposición. es decir, $\lambda_5 v_5 v_5^T = A-\sum_{i=1}^4 \lambda_i v_i v_i^T$

Answer 4

La primera fila y columna son todos ceros, de modo que podemos considerar la $4 \times 4$ submatriz de a $B$ dado a mi la eliminación de la primera fila y columna y recordando que $0$ es un autovalor.

La tercera fila es la misma que la primera y la cuarta fila es igual a la segunda. Por lo tanto, 0 es un valor propio con multiplicidad de al menos 2.

La estructura de la matriz revela que si $[v_1 , v_2 , v_3 , v_4]$ es un autovector, a continuación, $[v_4 , v_1 , v_2 , v_3]$ es también un vector propio con el mismo autovalor! Desde todos los vectores ya ha sido explicada (desde el espacio nulo), los últimos dos vectores propios se corresponden con el mismo autovalor.

La traza de la matriz es de 32 para los últimos dos autovalores debe ser de 16 (ya que la traza es igual a la suma de los autovalores). En este punto directo de cálculo da un autovector de a $\lambda = 16$ y por la observación anterior, el otro autovector.