¿Qué fórmulas debo usar para modelar realista la difusión de una gota de tinta en un agua?

Question

Soy un matemático y soy originario de las matemáticas lado de stackexchange. Quiero modelar el comportamiento de una gota de tinta se difunden en el agua. No quiero simplemente, el uso de la ecuación de difusión de la $u_t(\mathbf{x},t)=D \triangledown^2u(\mathbf{x},t) $ porque en primer lugar se produce una difusión de la tinta completamente simétrica en la $x$, $y$ y $z$ dirección, en segundo lugar, no toma en cuenta la gravedad de la producción de una fuerza (es decir en el $z$-dirección) y, por último, que no toma en cuenta la velocidad en el movimiento de las partículas de tinta y la diferente presión en cada punto.

Ahora me gustaría (si es posible) para crear un programa que le dará un resultado similar al ordenar la caótica difusión vemos en la vida real, posible mediante la creación de un no-simétrica inicial de la perturbación en la forma de una velocidad inicial de la tinta. ¿Qué fórmulas debería estar mirando en este caso? Puedo ignorar algunas de las cosas que he mencionado y aún así obtener un resultado realista? Es posiblemente cierto que los problemas que he mencionado pueden ser fijados por no tomar $D$ a ser constante, sino una función de la velocidad, la densidad y la presión y, a continuación, utilizando las fórmulas de la dinámica de fluidos para encontrar estos en cada posición y tiempo?

Como ya he dicho, soy un matemático y me disculpo de antemano por la posibilidad de que existan errores tontos en mi pregunta o que mi limitada comprensión de la física hace que este no sea un sensical pregunta todos juntos. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Si la caída es muy estático (en agua) y de similares propiedades de los fluidos para el agua alrededor de él (de modo que la tinta sólo las etiquetas de algunos de los primeros de la región), entonces esta es la ecuación correcta para usar. Sin embargo, si usted desea para tratar la tinta como tener distintas propiedades del agua, entonces usted quiere las ecuaciones de Navier-Stokes. Puesto que usted está interesado en la gravedad, supongo que tiene una densidad diferente en mente para la tinta, y probablemente a la diferente viscosidad así.

Sin duda turbulento de los fluidos de mezcla mucho más rápido que la difusión predice. En general, el mecanismo por el cual esta mejora de la difusión se lleva a cabo es esta: en Primer lugar, turbulento el flujo de fluido, a través de acoplamiento no lineal plazo $(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$, crea más y más a escala de estructuras, es decir, finas capas de tinta y agua. Segundo, una vez que estas escalas son lo suficientemente pequeñas, la difusión es, efectivamente, rápido, con sólo muy pequeñas escalas de longitud para mezclar juntos. Esto depende de su sistema está inestable a las perturbaciones, que depende en gran medida de la geometría de la gota de tinta y las propiedades de la tinta.

Como punto de partida, se puede tratar los dos fluidos inmiscibles, pidiendo a la forma pura de las parcelas de fluido dispersar debido al corte o la de Rayleigh-Taylor inestabilidad. Muchos de Navier-Stokes solver ha sido escrito; esta página ofrece una lista no exhaustiva.

Una más compleja de la imagen permite una verdadera mezcla, es decir, por la difusión. Esto también se puede hacer, aunque consiste en mantener un registro de la "densidad de la tinta" y tener un medio de informática propiedades como la densidad, la viscosidad y la de diluir la tinta. Un enfoque simplista podría ser, en cada paso de tiempo, avanzar en el líquido de código, a continuación, aplicar una separada de difusión de paso, y, a continuación, repita, mientras realiza un seguimiento de la densidad de la tinta y la viscosidad en cada punto de la rejilla.