¿Gödel del teorema de la incompletitud sólo probar que usted no puede tener un sistema formal que describe la teoría de los números que es a la vez completa y coherente, o es más general? En otras palabras: ¿es demostrar que cualquier sistema formal es inconsistente o incompleta?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Existen sistemas formales que son a la vez consistente y completa.
Sin embargo, no hay ningún sistema formal que tiene todas de las siguientes propiedades:
- es lo suficientemente fuerte como para cubrir la teoría de los números
- es recursivamente decidable si una fórmula es bien formado, si una frase es un axioma, y si una secuencia de oraciones es una prueba
- el sistema es compatible
- el sistema se completa
Kyle Gannon
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No exactamente. Deje $L = \{+,\times, 0, 1, <\}$ y definen $Th_L(\mathbb{N})= \{\varphi$ en $L$$:$ $\mathbb{N} \models \varphi \}$.
Este es completa y consistente (ya que claramente tiene un modelo) que abarca la aritmética. El Teorema de gödel afirma que esta colección no puede ser recursiva (o incluso recursivamente enumerable), es decir, no hay finitary algoritmo, el cual nos dice que las sentencias en $L$$Th_L(\mathbb{N})$.
