¿Cómo se puede demostrar que los colectores son regulares?

Question

En primer lugar, algunas aclaraciones sobre la definición de colector que estoy utilizando:

Un colector $M$ es un espacio topológico de Hausdorff, localmente euclidiano y segundo contable.

Ahora, estoy tratando de demostrar que Los colectores son paracompactos Y he establecido la mayoría de los detalles para la prueba desde el enlace anterior después de llegar hasta aquí por mis propios medios. El único agujero que tengo, sin embargo, es la afirmación de que los colectores son regulares. Por lo que puedo deducir, esto se deriva de las propiedades de estar localmente conectados por trayectorias y de ser Hausdorff, pero no puedo dar el salto de esas dos propiedades a la regularidad requerida para completar la prueba.

Pido disculpas por la pregunta, probablemente bastante elemental; soy matemático aplicado, y pretendo estar bien informado sobre una serie de temas matemáticos por mi propio interés, y aunque tengo un libro de texto que estoy estudiando sobre el tema de las variedades diferenciables, todavía hay un cierto desconocimiento de los métodos empleados en ciertos temas de matemáticas puras.

Tal vez incluso una pista sería lo mejor, ya que realmente me gusta tratar de entender estas cosas por mí mismo en la medida de lo posible, pero realmente no puedo conseguir este resultado... Gracias de antemano por la ayuda que puedan darme.

Answer 1

Nótese que localmente euclidiano y Hausdorff implica localmente compacto Hausdorff. Así que el siguiente resultado más general responderá a su pregunta.

Todo espacio Hausdorff localmente compacto es completamente regular. Se puede encontrar una prueba aquí .

La idea principal es que los espacios de Hausdorff localmente compactos son precisamente los espacios que admiten una compactación de Hausdorff de un punto (o "Alexandroff"). Ahora bien, los espacios compactos de Hausdorff son normales y, por tanto, completamente regulares. La normalidad no tiene por qué ser heredada por un subespacio arbitrario, pero la regularidad completa sí.

[Nota: en general soy partidario de la convención de que "compacto" y "localmente compacto" incluyen la condición de Hausdorff. Para ser lo más transparente posible, es evidente que no impongo esa convención aquí].

Answer 2

La respuesta de Pete ya es suficiente para cualquiera que quiera resolver los detalles del lema esencial de que lo localmente euclidiano y Hausdorff implica lo localmente compacto de Hausdorff por su cuenta, así que quería añadir una prueba de ese lema para completar esta página.

Prueba: Dejemos que $M$ sea localmente euclidiano. Afirmamos que para cada punto $x\in M$ existe un conjunto compacto $K\subset X$ y un barrio $U\subset K$ de $x$ . Arreglar $x\in M$ ; ya que $M$ es localmente euclidiano, existe una vecindad $N$ de $x$ un conjunto abierto $V\subset \mathbb R^n$ y un homeomorfismo $f:N\to V$ . Elige alguna bola $B\subset V$ centrado en $f(x)$ cuyo cierre $\overline B$ se encuentra completamente dentro de $V$ y considera las imágenes $f^{-1}(B),f^{-1}(\overline B)$ de estos dos conjuntos bajo el homeomorfismo inverso $f^{-1}:V\to N$ . Desde $f^{-1}$ es un mapa abierto, $f^{-1}(B)$ es una vecindad de $x$ ; ya que $f^{-1}$ es continua, $f^{-1}(\overline B)$ es compacto en $M$ y $f^{-1}(B)\subset f^{-1}(\overline B)$ . Esto demuestra la afirmación.