Superficie de Riemann con los pinchazos corresponde a una superficie hiperbólica con cúspides

Question

Estoy leyendo un artículo sobre las superficies de Riemann y el autor utiliza el hecho de que

$\{$De las superficies de Riemann con género $g$ $n$ pinchazos$\}$ está en una correspondencia uno a uno con $\{$ hiperbólico superficies con género $g$ $n$ cúspides $\}$. El papel dice a dotar a una superficie de Riemann con una completa métrica hiperbólica, necesitamos mover los pinchazos hasta el infinito. ¿Cómo hacemos eso?

Alguien me puede ayudar a entender el porqué de esto es cierto, por favor?

Answer 1

Primero supongamos que $n=0$ género $g \geq 2$ de la superficie. A continuación, la superficie puede ser dotado de una métrica hiperbólica (esto es esencialmente el teorema de uniformización). Tenga en cuenta que $g \geq 2$ es necesario, por ejemplo, porque de Gauss-Bonnet teorema.

Ahora, supongamos que esta superficie compacta está incrustado en algún espacio Euclidiano. Si usted hace una punción en esta superficie, la métrica no estará completa en ese punto (la geodesics se quedó allí sin ningún motivo). Con el fin de salvar la métrica de la integridad, tenemos que mover estos pinchazos de descuento hasta el infinito.

Para dar una muy crudo, ilustración, tome un círculo y hacer una punción en ella. Usted obtiene un intervalo abierto y la geodesics llegará el intervalo del límite de tiempo finito. Con el fin de salvar la situación debe expandir el intervalo de modo que se convierte en realidad en la línea real (pensamiento de Riemann colector plano métrico) con límite de descuento en el infinito. Ahora todo es bueno, ya que sólo golpear el límite en el infinito del tiempo y la métrica es completa.

Para superficies, este procedimiento crea picos-se pueden imaginar que el colector es una goma que se deforma cuando tire un punto (en representación de la punción) hacia el infinito.