Me pregunto acerca de un teorema que se demuestra que este teorema es $neither\, provable$ ni $disprovable$ el uso de cualquier tipo de conocimiento matemático.
Preguntas:
1 - hay alguna teorema de tales? o es proposable?
2 - Si existe un teorema acerca de un hecho, ¿cómo debemos pensar? qué significa que este hecho es independiente de todo?
Esto es un poco de un problema semántico.
Comúnmente la palabra teorema se refiere a una declaración que es demostrable a partir de una determinada teoría, por ejemplo,"el lema de Zorn es un teorema de ZFC" es decir que podemos probar el lema de Zorn es la verdad de ZFC.
Sin embargo, a veces la palabra "pega" a una cierta afirmación (como Zorn del lexema) y, a continuación, se convierte en una parte de el nombre de "el Cantor del teorema"; "de Hahn-Banach Teorema"; "el teorema de Tychonoff"; y así sucesivamente. Por ejemplo, el de Hahn-Banach es el teorema no es un teorema de ZF, pero es un teorema de ZFC.
Dada una colección de axiomas que es "agradable" (en el sentido de que podemos determinar fácilmente si un arbitrario declaración es un axioma); como bien lo suficientemente fuerte para describir los números naturales, entonces si esta colección es consistente, entonces hay afirmaciones que son verdaderas y que no puede probar ni refutar. Este es El Teorema de la Incompletitud mencionado por otros.
La Hipótesis continua es un ejemplo de ello. Hay modelos de ZFC en el que el continuum de la hipótesis es verdadera; otros modelos de ZFC en el que es falso. Del mismo modo el axioma de elección no puede ser demostrado a partir de los axiomas de ZF.
Sin embargo, somos libres para agregar a ZFC otros axiomas que son suficientes para demostrar que el proceso hipótesis es verdadera; o podemos agregar axiomas que será el continuum de la hipótesis es falsa. Por supuesto, no podemos añadir tanto los axiomas, ya que generaría una inconsistencia en el sistema... y las incoherencias son malos.
Por ejemplo a partir de los axiomas de ZFC+$\lozenge_{\omega_1}$ podemos probar la hipótesis continua es cierto. En el otro lado de ZFC+PFA podemos demostrar que el proceso hipótesis es falsa.
Todos en todos, cuando nos dicen que $\varphi$ es independiente de la teoría de la $T$ significa que $T+\varphi$ es consistente (si $T$ fue consistente para empezar, por supuesto). En particular, esto significa que $\varphi$ es no independiente de la teoría de la $T+\varphi$. Esto debe responder a su segunda pregunta: sin instrucción es independiente de todas las teorías.
La matemática es sólo teorías con base en un conjunto de axiomas. A partir de ellos, se puede derivar el valor de verdad de la fórmula en su teoría. Es bueno saber que para cualquier teoría con la aritmética, hay improbable fórmula (ver Goedel).
¿Qué significa esto ? Solo que su improbable fórmula puede ser añadido a su sistema y obtener una nueva teoría. Usted puede agregar la negación de la fórmula y obtener otra teoría.
Tanto la teoría puede ser visto como válido (siempre y cuando la primera es). Hay un ejemplo conocido en la geometría, en donde no se puede probar que, dado un punto y una recta (distinto del punto), existe una única paralela a la línea a través del punto.
Si agrega este axioma a los otros axiomas de la geometría de obtener la geometría euclidiana, pero si no lo hace, usted puede obtener algunas geometría hiperbólica. Ambas son buenas geometrías con diferentes dominios de utilidad. Así que no puedes decir que algo es verdadero independientemente de todo lo demás, excepto a dios, pero no es el punto aquí ?
Sí, hay muchos de esos "teoremas". Estos son bien conocidos conjeturas tales como Continuum Hipótesis, y también muchos de los más oscuros, como Whitehead problema. También se podría incluir el axioma de elección entre los (bueno, suponiendo ZF no es incompatible).
Es posible que desee echar un vistazo a la lista en Wikipedia.
Dicho esto, tu pregunta no tiene nada que ver con la estadística o la teoría de la probabilidad, la verdad.
Para contestar si algo es proveable, usted necesita preguntarse a si un bien formado fórmula es demostrable a partir de una cierta teoría (conjunto de axioma). De las otras respuestas, usted puede encontrar muchos ejemplo de estos a partir de la teoría de conjuntos. Sin embargo, hay muchos ejemplos de declaraciones que no se puede demostrar que la mayoría de las personas están muy familiarizados con.
Por ejemplo, el axioma de conmutatividad para grupos no es proveable usando los axiomas de la teoría de grupos. Usted podría ir sobre la que muestra esta unproveability por la producción de dos modelos de el grupo de axiomas: uno que satisfacen el axioma de conmutatividad y uno que no. Por ejemplo, cualquier conmutativa grupo (como $\mathbb{Z}$) y no-conmutativa grupo $S_3$.
Este método de producción de los modelos es esencialmente cómo probar incluso la independencia de los resultados en la teoría de conjuntos.
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