Dada una matriz $A$ y lo que los mapas de dos vectores a, se $0$ un autovalor de ella?

Question

Estudiando para mi examen de Álgebra, y esta pregunta salió sin solución en un examen anterior:

Dada una matriz $A$ tal que $A \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix},\ A \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}$.

(I) Es $0$ un autovalor de la matriz?

(II) Encontrar una matriz como la que, en los cuales la suma de sus autovalores es $0$.

Así que (creo) se resolvió (I) pero no tienen ni idea de (II). Aquí está mi solución para (I):

$A \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + A \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} = 0$, y luego, el vector $v = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}$ suministros que $Av = 0v = 0$ lo que significa que $0$ es un autovalor de a $A$ con un autovector $v$.

Answer 1

La respuesta para (I) se ve bien.

Bueno para (II) podría ser la nota que $$ A\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\-6\end{bmatrix} $$ y $$ A\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\-3\end{bmatrix} $$ el que da las dos primeras columnas de a $A$: $$ A=\begin{bmatrix}1&2&x\\2&4&y\\-3&-6&z\end{bmatrix} $$ La traza es la suma de los autovalores. Por lo tanto, si la suma de los autovalores es $0$, necesitamos $z=-5$. $x$ y $y$ son arbitrarias.

Answer 2

Sugerencia: Si una matriz $A$ ha vectores columna $a_1,..,a_n$, luego $$A\cdot e_i=a_i$$ donde $e_1=\pmatrix{1\\0\\0\\ \vdots}$, $e_2=\pmatrix{0\\1\\0\\ \vdots}$, $e_3=\pmatrix{0\\0\\1\\ \vdots}$...