Hay un truco para encontrar la serie de Maclaurin para $f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ rápido? Vagamente, recuerdo que esto es algún tipo de hiperbólico inverso de la función, pero no estoy seguro acerca de lo que uno, y lo que sus derivados. Este es un pasado de las preguntas del examen y me gustaría saber, en caso de que algo similar aparecer de nuevo, si hay un método rápido de encontrar esta serie sin necesidad de utilizar funciones hiperbólicas inversas. Los derivados de este look absolutamente doloroso para calcular, aunque es fácil en $x=0$, pero no estoy seguro de si yo podría ver fácilmente un patrón para la $n$-ésima derivada en $0$.
Respuesta
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El método más fácil: tenga en cuenta que $$ \frac{d}{dx}\left[\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=(1+x^2)^{-1/2}. $$ Este último puede ser expresado a través de un binomio de la serie; luego puede integrar término a término, y resolver para la constante de integración, para obtener la serie que desea.
