Quiero saber la respuesta/referencias para la pregunta sobre la decadencia de la serie de Fourier coeficientes y la diferenciabilidad de una función. ¿El magitude de la serie de fourier coeficientes {$a_k$} de una función derivable en a $L^2 (\mathbb{R})$ (o en cualquier espacio adecuado) caries tan rápido o más rápido que el de $k^{-1}$. Quiero saber si hay alguna teorema de tales ? También conversar acerca de la declaración. ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Incluso hay una versión cuantitativa de este principio: Si $f$ $C^r\bigl({\mathbb R}/(2\pi{\mathbb Z})\bigr)$ e si $f^{(r)}$ es de variación acotada $V$ en un período completo, a continuación, el complejo de los coeficientes de Fourier de $f$ satisfacer la estimación $$|c_k|\leq {V\over 2\pi k^{r+1}}\qquad(k\ne0)\ .\qquad(*)$$ Para probar esto para $r=0$ uno necesita de los siguientes
${\it Lemma}.\ $ Deje $f$ $g$ ser continua y $2\pi$-periódico. Si $f$ es de variación acotada $V$ $g$ tiene un periódico primitivo $G$ de valor absoluto $\leq G^*$ $$\left|\int_{-\pi}^\pi f(t)g(t)\>dt\right|\leq V\>G^*\ .$$ Esto es fácil de probar por la integración parcial al $f$ $C^1$ y requiere un poco de trabajo de otra manera. Con el fin de demostrar (*) para arbitrario $r\geq0$ procede por inducción.
