Composición en la categoría Arrow

Question

De una categoría $\mathcal{C}$ podemos construir su categoría de flechas $\text{Ar}(\mathcal{C})$ donde los objetos son morfismos y las flechas son cuadrados conmutativos.

Pero, ¿qué ocurre con la composición de las flechas? Esto no se corresponde directamente con una estructura de categoría monoidal, ya que no todas las dos flechas pueden componerse para dar lugar a una tercera.

• ¿Dónde entra la composición sobre las flechas en la estructura (además de la composición de morfismos entre las propias flechas, que son pares de flechas)?
• ¿Puede expresarse la composición dentro de esta categoría?

Gracias.

Answer 1

La categoría de flechas está equipada con dos funtores $s, t : \text{Ar}(C) \to C$ que da el origen y el destino de una flecha. La composición es un functor

$$\text{Ar}(C) \times_{\text{Ob}(C)} \text{Ar}(C) \to \text{Ar}(C)$$

donde el LHS es un (2-)pullback, con uno de los mapas $\text{Ar}(C) \to \text{Ob}(C)$ siendo el origen y uno el destino. Esto expresa precisamente que sólo se pueden componer morfismos con orígenes y destinos compatibles.

Answer 2

Una posible forma de "ver" la composición de las flechas de la categoría original $\mathcal{C}$ en $\operatorname{Ar}(\mathcal{C})$ es la siguiente:

Supongamos que $f:x\to y$ y $g:y\to z$ , dejemos que $1_x,1_y,1_z\in\operatorname{Ar}(\mathcal{C})$ sean los morfismos de identidad de $x,y,z$ respectivamente, entonces $f$ da un morfismo $1_f:1_x\to1_y$ de forma obvia, y de forma similar para $g$ . Entonces $$1_{g\circ f} = 1_g\circ1_f.$$