Raíces reales de $z^2+\alpha z + \beta=0$

Question

Pregunta:- Si la ecuación $z^2+\alpha z + \beta=0$ tiene una raíz real, demuestre que $$(\alpha\bar{\beta}-\beta\bar{\alpha})(\bar{\alpha}-\alpha)=(\beta-\bar{\beta})^2$$

---

Intenté hacer el tonto con el discriminante pero no conseguí nada bueno. Sólo una pista hacia una solución, podría funcionar.

Answer 1

Eliminar $r$ entre

$$r^2+r\alpha+\beta=0$$ et $$r^2+r\bar\alpha+\bar\beta=0.$$

Por Cramer,

$$r^2=-\frac{\left|\begin{matrix}\beta&\alpha\\\bar\beta&\bar\alpha\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}1&\alpha\\1&\bar\alpha\end{matrix}\right|},$$ $$r=-\frac{\left|\begin{matrix}1&\beta\\1&\bar\beta\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}1&\alpha\\1&\bar\alpha\end{matrix}\right|}.$$

Answer 2

Que las raíces sean $-x,-y$ con $x$ real. Entonces $\alpha=x+y$ et $\beta=xy$ Por lo tanto

$$\alpha\bar{\beta}-\beta\bar{\alpha}=(x+y)x\bar{y}-xy(x+\bar{y})=x^2(\bar{y}-y) \\ (\bar{\alpha}-\alpha)=\bar{y}-y \\ (\beta-\bar{\beta})^2 =x^2 (y-\bar{y})^2 \\ $$

Es fácil ver que el producto de los dos primeros es el último.

Answer 3

Dejemos que $x$ sea una raíz real de la ecuación dada. Entonces tenemos $$\begin{align*} x^2+\alpha x+\beta&=0\\ x^2+\overline\alpha x+\overline\beta&=0 \end{align*}$$ y después de restar obtenemos $$\begin{gather*} (\alpha-\overline\alpha)x+(\beta-\overline\beta)=0\\ x=-\frac{\beta-\overline\beta}{\alpha-\overline\alpha} \end{gather*}$$ Ahora introduzcamos esto en la ecuación original $$\begin{align*} x^2&=-\alpha x -\beta\\ \frac{(\beta-\overline\beta)^2}{(\alpha-\overline\alpha)^2} &= \frac{\alpha(\beta-\overline\beta)}{\alpha-\overline\alpha} - \beta\\ \frac{(\beta-\overline\beta)^2}{(\alpha-\overline\alpha)^2} &= \frac{\alpha(\beta-\overline\beta)}{\alpha-\overline\alpha} - \frac{\beta(\alpha-\overline\alpha)}{\alpha-\overline\alpha}\\ \frac{(\beta-\overline\beta)^2}{(\alpha-\overline\alpha)^2} &= \frac{\beta\overline\alpha-\alpha\overline\beta}{\alpha-\overline\alpha} \\ (\beta-\overline\beta)^2 &= (\beta\overline\alpha-\alpha\overline\beta)(\alpha-\overline\alpha) \end{align*}$$ Esto es básicamente lo que queríamos probar. (En el problema dado, el signo de ambos paréntesis se cambia por el opuesto, lo que no cambia la expresión).