La prueba consta de dos partes.
Parte I: Probar que un período de $20$ días es suficiente de tal manera que debe existir un período de días consecutivos durante el cual totalmente $20$ horas se emplean en el estudio.
Parte II: UN contraejemplo, que muestra que las $19$ días no son suficientes se presenta.
La prueba de la Parte I
Vamos $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_{20} \in \mathbb{N}^+$ indicar el nº de horas dedicadas a estudiar para cada día. Además, puso
$$
f(i) = x_1 + x_2 + \cdots + x_i\quad\text{para}\quad 1 \leq i \leq 20
$$
para indicar el número total de horas dedicadas a estudiar antes y en el día $i$. Especialmente, $f(0) = 0$. Es fácil observar que
$$
f(0) < f(1) < \cdots < f(20)
$$
Vamos
$$
A = \{f(0) + 20,\ f(1) + 20,\ \cdots,\ f(11) + 20\}
$$
y
$$
B = \{f(12),\ f(13),\ \cdots,\ f(20)\}
$$
Porque
$$
f(11) = \color{red}{x_1 + \cdots + x_7} + \color{blue}{x_8 + x_9 + x_{10} + x_{11}} \leq \color{red}{11} + \color{blue}{11 - 3} = 19
$$
tenemos
$$
A \subseteq \{f(11) + 1,\ f(11) + 2,\ \cdots,\ f(11) + 20\} \etiqueta{1}
$$
Porque
$$
f(20) = f(11) + \color{red}{x_{12} + \cdots + x_{18}} + \color{blue}{x_{19} + x_{20}} \leq f(11) + \color{red}{11} + \color{blue}{11 - 5} = f(11) + 17
$$
y
$$
f(12) = f(11) + x_{12} \geq f(11) + 1
$$
así
$$
B \subseteq \{f(11) + 1,\ f(11) + 2,\ \cdots,\ f(11) + 17\} \etiqueta{2}
$$
Hay un total $|A| + |B| = 21$ a los valores, sino sólo $20$ ranuras, es decir,$f(11) + 1,\ \cdots,\ f(11) + 20$, existen por $(1)$$(2)$. Por lo tanto, algunos $f(i) + 20 \in A$ $f(j) \in B$ debe ser igual. Es decir, $$f(i) + 20 = f(j)$$
$$\tag*{$\blacksquare$}$$
La prueba de la Parte II
El contraejemplo es fácil: Dejar que el # de horas que se dedican a estudiar todos los días se $1$.
$$\tag*{$\blacksquare$}$$
Cuando el límite es de $12$.
Esta parte contiene una prueba para el caso cuando el límite es de $12$ en lugar de $11$.
En este caso, vamos a lugar
$$
A = \{f(0) + 20,\ f(1) + 20,\ \cdots,\ f(10) + 20\}
$$
y
$$
B = \{f(10),\ f(11),\ \cdots,\ f(20)\}
$$
Porque
$$
f(10) = \color{red}{x_1 + \cdots + x_7} + \color{blue}{x_8 + x_9 + x_{10}} \leq \color{red}{12} + \color{blue}{12 - 4} = 20
$$
y
$$
f(20) = f(10) + \color{red}{x_{11} + \cdots + x_{17}} + \color{blue}{x_{18} + x_{19} + x_{20}} \leq f(10) + \color{red}{12} + \color{blue}{12 - 4} = f(10) + 20
$$
tenemos
$$
A \subseteq \{f(10),\ f(10) + 1,\ \cdots,\ f(10) + 20\}
$$
y
$$
B \subseteq \{f(10),\ f(10) + 1,\ \cdots,\ f(10) + 20\}
$$
De un modo tan total $|A| + |B| = 22$ elementos y $21$ ranuras. Así el principio del Palomar se aplica.
