Una cierta amplitud de dispersión de gluon

Question

Estoy atascado con este proceso de cálculo del árbol de nivel de dispersión de la amplitud de dos helicidad positiva (+) gluones de impulso decir $p_1$ $p_2$ de dispersión en dos gluones de negativo (-) de la helicidad con ímpetu $p_3$$p_4$.

Al parecer, esto es $0$ para el diagrama donde uno ve este proceso como dos 3 gluon con amplitudes de propagación gluon (de decir impulso $p$) y $p_1$ $p_2$ están conectados uno a cada uno de los dos 3 gluon amplitudes. Quiero ser capaz de demostrar esa desaparición.

Así que vamos a $p_2^+$ $p$ $p_3^-$ y el resto en los otros 3 gluon vértice.

Estoy trabajando en el color despojado de formalismo. Deje que los índices de Lorentz $\rho$, $\sigma$ para la propagación de gluones. Y para el exterior gluones $p_1^+$, $p_2^+$, $p_3^-$, $p_4^-$ deje $\nu, \lambda, \beta, \mu$, respectivamente, de ser sus índices de Lorentz. Deje que el auxiliar de vectores elegido para especificar las polarizaciones de estos externo gluones ser $p_4, p_4, p_1, p_1$ respectivamente. Así que la "onda", las funciones de estos cuatro gluones se denota como, $\epsilon^{+/-}(p,n)$ donde $p$ representa para su impulso y $n$ auxiliares de vectores y en la spinor-helicidad formalismo uno iba a escribir,

1. $ \epsilon^{+}_\mu(p,n) = \frac{<n|\gamma_\mu|p]}{\sqrt{2}<n|p>} $

2. $\epsilon^{-}_\mu(p,n) = \frac{[n|\gamma_\mu|p>}{\sqrt{2}[p|n]} $

Por lo tanto yo creo que esta amplitud está dada por,

$\epsilon^{-}_{\mu}(p_4,p_1)\epsilon_{\nu}^{+}(p_1,p_4)\epsilon_\lambda^+(p_2,p_4)\epsilon_\beta^-(p_3,p_1)\left( \frac{ig}{\sqrt{2}} \right)^2 \times \{ \eta^{\mu \nu}(p_4-p_1)^\rho + \eta^{\nu \rho}(p_1-p)^\mu + \eta^{\rho \mu}(p - p_4)^\nu\} \left ( \frac{-i\eta_{\rho \sigma}}{p^2}\right)\{ \eta^{\lambda \beta}(p_2-p_3)^\sigma + \eta^{\beta \sigma}(p_3-p)^\lambda + \eta^{\sigma \lambda}(p - p_2)^\beta \} $

Uno observa el siguiente,

1. $\epsilon^{-}_\mu(k_1,n). \epsilon^{- \mu}(k_2,n) = \epsilon^{+}_\mu(k_1,n).\epsilon^{+\mu} (k_2,n) = 0$

2. $\epsilon^{+}_\mu(k_1,n_1).\epsilon^{-\mu}(k_2,n_2) \propto (1-\delta_{k_2 n_1})(1-\delta_{k_1,n_2})$

Utilizando la anterior se ve que en la amplitud que el único que no se desvanece plazo que queda es (hasta algunos prefactors),

$\epsilon^{-}_{\mu} (p_4,p_1) \epsilon_{\nu}^{+}(p_1,p_4) \epsilon{_\lambda}^{+}(p_2,p_4)\epsilon_{\beta}^{-}(p_3,p_1) \left\{ \eta^{\nu}_{\sigma}(p_1-p)^\mu + \eta_\sigma^\mu(p - p_4)^\nu\right\}\times \{ \eta^{\lambda \beta}(p_2-p_3)^\sigma\}$

(..el que es el producto de los dos últimos términos del primer vértice (factor de contrato con el índice de la propagador) y el primer término del segundo vértice factor..}

• ¿Por qué este plazo por encima de cero? (..la única manera de que el diagrama completo puede desaparecer..)

Answer 1

Yo estaba tratando de empujar en la dirección correcta, pero aquí está el cálculo explícito. Centrarse en el vértice donde se juntan los gluones 1 y 4 de cumplir. Hay un factor de $\epsilon(p_1)_\nu \epsilon(p_4)_\mu \left(\eta^{\mu \nu} (p_4 - p_1)^\rho + \eta^{\nu\rho} (p_1 - p)^\mu + \eta^{\rho\mu} (p - p_4)^\nu\right)$. Pero, por construcción, $\epsilon(p_1) \cdot \epsilon(p_4) = 0$, por lo que el $\eta^{\mu \nu}$ plazo se desvanece. En el segundo término, utilizamos $p = -p_1 - p_4$ a la nota que tenemos un factor de $(2 p_1 - p_4) \cdot \epsilon(p_4)$. Pero $\epsilon(p_4) \cdot p_4 = 0$ debido a que los bosones de gauge son transversales, mientras que $p_1 \cdot \epsilon(p_4) = 0$ por su elección de la referencia spinor para gluon 4. Así que el segundo término es cero. El último término es igual a cero en forma análoga. Así que este vértice es igual a cero y no es necesario pensar en el resto del diagrama.