¿Por qué no tenemos un isomorfismo entre el$R[x]$$ R[[x]]$?

Question

$R$ es un anillo. ¿Por qué no tenemos un isomorfismo $$ R[x] \cong R[[x]]\ ? $$

Answer 1

El cero del anillo es el único anillo conmutativo $R$$R[x] \cong R[[x]]$.

Prueba: Supongamos $R[x] \cong R[[x]]$. Es conocido (Ejercicio 1.4 en Atiyah del libro) que el Jacobson radical de $R[x]$ es igual a su nilradical. Por lo tanto, seguiría la misma para $R[[x]]$. Desde $x$ se encuentra en el Jacobson radical de $R[[x]]$ (de hecho, $1+xf$ es invertible para todos los $f \in R[[x]]$), se deduce que el $x$ es nilpotent, es decir, $x^n=0$ algunos $n \geq 0$. Esta muestra $R=0$.

La misma prueba se muestra: Si $R,S$ son anillos conmutativos con $R[x] \cong S[[x]]$, $S=0$ y, por tanto,$R=0$.