integrar la siguiente función: $\int_{0}^{\infty} \frac{\log{x}}{x^{2}+a^{2}} \ dx$

Question

¿Cómo puedo integrar la siguiente función: $$\int_{0}^{\infty} \frac{\log{x}}{x^{2}+a^{2}} \ dx $$ Integrando por partes se ve muy difícil.

Answer 1

La integral se evalúa a $\frac{\pi\log a}{2a}.$ Aquí es una solución primaria.

En primer lugar, evaluamos cuando $a=1$. Considere la posibilidad de $\int_{1}^{\infty}\frac{\log u}{u^{2}+1}du$, y el aviso de que sustituyendo $u=\frac{1}{v}$ hemos $$\int_{1}^{\infty}\frac{\log u}{u^{2}+1}du=-\int_{0}^{1}\frac{\log v}{1+v^{2}}dv$$ and hence $$\int_{0}^{\infty}\frac{\log u}{u^{2}+1}du=0.$$

Ahora, volviendo al caso general, dejando $x=au$, tenemos $$\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty}\frac{\log a}{u^{2}+1}du+\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty}\frac{\log u}{u^{2}+1}du.$$ We know the second integral is $0$, and the first is $\frac{\pi}{2}$ since it is $\arctan(x)$, por lo que llegamos a la conclusión de que

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{2}+a^{2}}dx=\frac{\pi\log a}{2a}.$$

Observación: Este método se basó en una sustitución de truco. Un enfoque más general es el uso de una clave de orificio integral de contorno alrededor de la rama cortada $(0,\infty)$.

Answer 2

Primer paso: El cambio de variable $x=au$ rendimientos $$ I(a)=\int_0^{+\infty}\frac{\log x}{x^2+a^2}\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\frac{\log a+\log u}{u^2+1}\frac{\mathrm du}=\frac1a\left(\frac{\pi}2\log a+I(1)\right). $$ Segundo paso: la Descomposición de la $I(1)$ en un integrante en $(0,1)$ y un integrante en $(1,+\infty)$, y mediante el cambio de variables $x=1/z$ $(0,1)$ parte de los rendimientos de $I(1)=0$.

Conclusión: Por cada $a\gt0$, $I(a)=\dfrac{\pi}2\dfrac{\log a}a$.