Si $1 \sim 2$$2 \sim 3$, ¿es $\sim$ una relación de equivalencia?

Question

Me piden que describa una relación de equivalencia en $S \in \{1,2,3,4\}$ donde$1 \sim 2$$2 \sim 3$.

Sin embargo estoy un poco confundido sobre por qué esto califica como una relación de equivalencia, ya que a través de la propiedad de simetría $1 \sim 2 \iff 2 \sim 1$, y por lo $2 \in cl(1)$. También sabemos que desde $2 \sim 3$, $2 \in cl(3)$.

Esto significa que $2$ existe dentro de dos clases de equivalencia, y así las clases de equivalencia de a $S$ no forman una partición de $S$.

Alguien puede claro hasta donde me ha ido mal en mi razonamiento?

Answer 1

Su razonamiento está bien, hasta cierto punto: lo que has demostrado es que estrictamente habiendo $1\sim 2$ $2\sim3$ no es suficiente para formar una relación de equivalencia.

Pero ellos no están pidiendo que muestran que $\{(1,2),(2,3)\}$ es una relación de equivalencia, están pidiendo a usted para encontrar UNA relación de equivalencia tal que estas dos relaciones.

Por transitividad para estar satisfechos, si tenemos tanto $1\sim 2$$2\sim 3$, entonces, necesariamente debemos tener $1\sim 3$.

Qué condiciones deben cumplirse, además de a $1\sim 3$, para $\sim$ a ser reflexiva y simétrica así?

Answer 2

Acaba de tomar como la necesaria relación de equivalencia: $$ \forall x,y \in \{1,2,3,4\} \quad x \sim y \quad !$$