60 estudiantes van a ser divididos en dos habitaciones, ¿cuál es la probabilidad de que los estudiantes A,B,C,D,E (que son superamigos) acaben juntos?

Question

Como dice el título, 60 estudiantes se dividen en dos salas de $30$ . ¿Cuál es la probabilidad de que Ann, Belle, Clarice, Diego y Evelyn acaben en la misma habitación?

No puedo entender si el número $60$ influye en la probabilidad de que acaben en la misma habitación. porque si no, entonces sería $\left(\frac{1}{2}\right)^5$ . Pero creo que hay que tener en cuenta las otras $55$ estudiantes y que las divisiones tienen un límite de $30$ por cada uno.

Answer 1

Sí, el número 60 influye en esto... como ejemplo extremo, ¿qué pasaría si sólo hubiera 6 alumnos a repartir en dos salas de 3? Así que tienes razón: dado que hay un número máximo que va en la habitación tiene un efecto.

Además, no importa en qué habitación esté Ann... siempre y cuando los otros cuatro vayan en esa misma habitación... así que la probabilidad será más cercana a $(\frac{1}{2})^4$ que a $(\frac{1}{2})^5$

Pero no va a ser exactamente $(\frac{1}{2})^4$ o bien:

Dado que Ann está en una de las habitaciones, la probabilidad de que Belle esté en la misma habitación es $\frac{29}{59}$ . Para Clarice es entonces $\frac{28}{58}$ etc.

Entonces, la probabilidad de que los 5 terminen en la misma habitación es:

$$\frac{29}{59} * \frac{28}{58} *\frac{27}{57} *\frac{26}{56}$$

Y ahora ves por qué el número 60 es importante... cambia este número ligeramente, y la probabilidad también cambiará ligeramente. Cuanto más alto sea el número, más se acercará la probabilidad a $\frac{1}{2}$ pero para números más pequeños, la probabilidad será cada vez menor. De hecho, una vez que llegamos a dos habitaciones de 4 o menos, la probabilidad de que los "cinco fabulosos" acaben en la misma habitación se ha convertido en $0$ .

Answer 2

Anne va a estar en una de las dos habitaciones.   A quién le importa cuál.

¿Cuál es la probabilidad de que los compañeros de habitación de Ann sean una selección de todo su $4$ amigos y otro $25$ de la $55$ los estudiantes restantes, al seleccionar $29$ de la $59$ otros estudiantes sin prejuicios?

Answer 3

Número total de formas en que se pueden poblar las dos salas
$=\dbinom{60}{30}$

Número total de formas en las que se pueden poblar las dos salas con el $5$ personas juntas $=2 \dbinom{60-5}{30-5}$

Probabilidad $=\dfrac{2\dbinom{60-5}{30-5}}{\dbinom{60}{30}}=\dfrac{2\dbinom{55}{25}}{\dbinom{60}{30}}$