Estoy teniendo problemas con el cálculo de la siguiente integral: $$ \int_{0}^{\infty} \ln{(1 + \alpha x)\, G^{k,0}_{k,k}\left[e^{-x}\left|^{(a_k)}_{(b_k)} \right. \right]} \, dx, $$ donde $\alpha > 0$ $G^{m,n}_{p,q}[\cdot | \cdot]$ es el Meijer-G de la función. Cualquier idea o referencias que le sería muy útil. Gracias!
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user153012
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Me gustaría resolver el siguiente caso especial. Deje $\alpha,k>0$ y $a_n = a$, $b_n = a-1$ para todos los $n=1,\dots,k$ donde $a>1$.
Vamos a utilizar el siguiente Meijer G de identidad. Para todos los $|z|<1$ tenemos: $$ G_{m,m}^{m,0}\left(z\,\medio|\begin{array}c a,\dots,a\\a-1,\dots,a-1\end{array}\right) = \frac{(-1)^{m+1} z^{- 1} \ln^{m-1}(z)}{(m-1)!}. $$
Así que el uso de este tenemos $$\begin{align} \int_{0}^{\infty} \ln(1 + \alpha x)\,G_{k,k}^{k,0}\left(e^{-x}\,\middle|\begin{array}c a,\dots,a\\a-1,\dots,a-1\end{array}\right)\,dx \\ = \frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty x^{k-1}\left(e^{-x}\right)^{- 1}\ln(1+\alpha x)\,dx.\end{align} $$ Esta integral tiene las siguientes Meijer G de representación: $$ \frac{1}{(k-1)!}\int_0^\infty x^{k-1}\left(e^{-x}\right)^{- 1}\ln(1+\alpha x)\,dx = \frac{1}{\alpha^{k}(k-1)!}G_{2,3}^{3,1}\left(\frac {- 1}{\alpha}\medio| \begin{array}{c} -k,1-k \\ 0,-k,-k \\\end{array}\right). $$ Especialmente para $k=1$ tenemos: $$ \int_0^\infty \left(e^{-x}\right)^{- 1}\ln(1+\alpha x)\,dx = \frac{1}{1}\exp\left(\frac {- 1}{\alpha}\right)\operatorname{Ei}\left(\frac{1}{\alpha}\right), $$ donde $\operatorname{Ei}$ es la integral exponencial. Usted podría solucionar el $k=1$ caso más general, el uso de esta identidad.
