($\mathbb Q$,+) y $\mathbf{Z}_{p^\infty}$ tiene esta propiedad?

Question

Hay un ejercicio revelador que cada subconjunto finito de grupo ($\mathbb Q$,+) o de grupo $\mathbf{Z}_{p^\infty}$ genera una cíclico propio grupo.

Para el primer grupo si $X= \left\{\frac{p_{1}}{q_{1}},\frac{p_{2}}{q_{2}},\ldots,\frac{p_{n}}{q_{n}}\right\} $ ser un subconjunto finito, entonces obviamente $X\subseteq \langle\frac{1}{q_{1} q_{2}...q_{n}}\rangle$ $\langle X\rangle$ es cíclico iself.

Amablemente preguntando sobre el segundo grupo. Cómo muestran que alrededor de un $\mathbf{Z}_{p^\infty}$ ? Gracias.

Answer 1

Un elemento de $\mathbb Z_{p^\infty}$ $p^k$'th raíz de la unidad. Por lo tanto, si usted tiene una colección de $p^{k_1},\ldots, p^{k_n}$'th raíces de la unidad, entonces el subgrupo que generan es un subgrupo del grupo cíclico de $p^{\operatorname{lcm}(k_1,\ldots, k_n)}$ raíces de la unidad.

Answer 2

También, el mismo argumento funciona si nos fijamos en $\Bbb Z_{p^\infty}$ como el cociente aditivo grupo $\Bbb Z[1/p]/\Bbb Z$. Si tenemos una colección de $\{p_1/q_1,\cdots,p_k/q_k\}$, entonces cada elemento es un múltiplo de a $\operatorname{lcm}(q_1,\cdots,q_k)^{-1}$.

Answer 3

Cualquier grupo cíclico finito (o infinito) tiene esta propiedad - un subconjunto finito de elementos genera un cíclica sub-grupo.

Tanto en $\mathbb Z_{p^\infty}$ $\mathbb Q$ son los sindicatos de una secuencia anidada de grupos cíclicos, por lo que cualquier subconjunto finito es necesariamente en uno de los subgrupos, y por lo tanto se debe generar un subgrupo de un grupo cíclico, que es un grupo cíclico.

En general, un grupo que tiene esta propiedad si y sólo si a es la unión de un dirigidos conjunto de grupos cíclicos. Deje $G$ ser un grupo, y vamos a $\mathcal P$ ser dirigida conjunto de subconjuntos finitos de $G$, y, por $S\in \mathcal P$, vamos a $G_S$ se define como el subgrupo generado por los elementos de la $S$. Si $G$ tiene esta propiedad, entonces cada una de las $G_S$ es un grupo cíclico, y $G$ es la unión de esta dirigido conjunto de grupos cíclicos.