Cómo evaluar la suma

Question

Por favor me ayudan a evaluar los siguientes

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{n^3}$$

No tienen idea de cómo evaluar. Cualquier truco por favor?

Gracias

Answer 1

Diferenciación: $\displaystyle f(z) = \operatorname{Li}_{3}(z) + \operatorname{Li}_{3}(1-z)+ \operatorname{Li}_{3}\left(1 - \frac{1}{z}\right)$

Tenemos, $\displaystyle f'(z) = \frac{\operatorname{Li}_2(z)}{z} - \frac{\operatorname{Li}_2(1-z)}{1-z} +\frac{\operatorname{Li}_2\left(1 - \frac{1}{z}\right)}{1 - \frac{1}{z}}.\left(\frac{1}{z^2}\right)$

El uso de la reflexión de la fórmula y Abel Identidad como se indica aquí tenemos,

$\displaystyle \operatorname{Li}_2(z)-\operatorname{Li}_2\left(1 - \frac{1}{z}\right)=\zeta(2)-\ln z\ln(1-z)+\frac12\ln^2 z$

$\displaystyle \operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1 - \frac{1}{z}\right)=-\frac12\ln^2z$

Ya, $$\displaystyle \begin{align}f'(z) &= \frac{\operatorname{Li}_2(z)}{z} - \frac{\operatorname{Li}_2(1-z)}{1-z} +\frac{\operatorname{Li}_2\left(1 - \frac{1}{z}\right)}{1 - \frac{1}{z}}.\left(\frac{1}{z^2}\right) \\ &= \frac{\operatorname{Li}_2(z)-\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)}{z}-\frac{\operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)}{1-z} \\ &=\frac{\zeta(2)-\ln z\ln(1-z)}{z}+\frac{\ln^2 z}{2z} + \frac{\ln^2 z}{2(1-z)} \tag{1}\end{align}$$

Podemos diferenciar $\displaystyle g(z) = \zeta(3) + \frac{\ln^{3} (z)}{6}+ \frac{\pi^{2} \ln (z) }{6}- \frac{\ln^{2} (z) \ln(1-z)}{2}$ y ver que es igual a $f'(z)$, y está de acuerdo con $f(z)$$z=1$, es decir, $g(1) = f(1) = \zeta(3)$.

Alternativamente, la integración directa de $(1)$ rendimientos $g(z)$.

Por lo tanto, $\displaystyle \operatorname{Li}_{3}(z) + \operatorname{Li}_{3}(1-z)+ \operatorname{Li}_{3}\left(1 - \frac{1}{z}\right) = \zeta(3) + \frac{\ln^{3} (z)}{6}+ \frac{\pi^{2} \ln (z) }{6}- \frac{\ln^{2} (z) \ln(1-z)}{2}$

Ahora, para calcular el $\operatorname{Li}_3(\xi)$, donde, $\displaystyle \xi = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ podemos observar, $\displaystyle \xi^2 - 3\xi + 1= 0 \implies \frac{-\xi}{1-\xi} = -(1-\xi)$

y,

$\displaystyle \begin{align} &f(1-\xi) \\&= \operatorname{Li}_3(\xi) + \operatorname{Li}_3(1-\xi)+\operatorname{Li}_3\left(\frac{-\xi}{1-\xi}\right) \\&= \operatorname{Li}_3(\xi) + (\operatorname{Li}_3(1-\xi) + \operatorname{Li}_3(-(1-\xi))) \tag{2}\\&= \operatorname{Li}_3(\xi) + \frac{1}{4}\operatorname{Li}_3((1-\xi)^2) \\&= \frac{5}{4}\operatorname{Li}_3(\xi) \end{align}$

En el paso $(2)$, hemos utilizado: $\displaystyle \operatorname{Li}_3(z)+\operatorname{Li}_3(-z) = \frac{1}{4}\operatorname{Li}_3(z^2)$

Equiparar y la simplificación de la con $\xi = \phi^{-2}$ rendimientos $\displaystyle \operatorname{Li}_3(\phi^{-2})= \frac{4}{5}\zeta(3)+\frac{2}{3}\log^3\phi-\frac{2\pi^2}{15}\log\phi.$

Answer 2

Su serie es un valor especial de la trilogarithm función.

A través de Landen la identidad no es difícil probar que:

$$\operatorname{Li}_3\left(\frac{1}{\phi^2}\right)= \frac{4}{5}\zeta(3)+\frac{2}{3}\log^3\phi-\frac{2\pi^2}{15}\log\phi.$$