Pregunta: Vamos a $d := d(x, [[y]]) = \inf_{\lambda} \|\ x + \lambda y \|\ $ donde $y$ es un vector unitario; y $[[y]]$ denota el espacio de los vectores (con la norma de 1), muestran que:
(a) $d = \|\ x + \lambda_0 y \|\ $ algunos $\lambda_0$ ,
(b) $| \langle x,y \rangle |^{2} = \|\ x \|^{2} - d^2 $ , y
(c) $y \perp (x - \lambda_0 y )$
También vale la pena mencionar que estamos trabajando en un Espacio de Hilbert. También, me ha dado una pista: sustituto $\lambda = \alpha + i \beta$, a continuación, encontrar el mínimo mediante la diferenciación en $\alpha$ , $\beta$ para obtener $\lambda = - \overline{ \langle x , y \rangle } $. Pero cuando trató de utilizar la nada apareció para mí.
Así que aquí están mis pensamientos hasta el momento:
Desde cualquier vector $x$ se puede descomponer de manera única en dos partes, una en la dirección de $y$, y la otra perpendicular a ella: $$x = \lambda y + (x - \lambda y) \hspace{1cm} \text{with} \space\ \langle x - \lambda y , y \rangle = 0$$ la que se muestra en la parte (c), (se siente mal), pero cualquier Espacio de Hilbert tiene la representación $H = M \bigoplus M^{\perp} $ donde $M$ es un subespacio cerrado de $H$. De todos modos, este rendimientos $\lambda = \dfrac{ \langle y , x \rangle }{ \langle y , y \rangle } $, pero en nuestro caso $\|\ y \|\ = 1$, por lo que tenemos $\lambda = \langle y , x \rangle = \overline{ \langle x , y \rangle } $. La aplicación de Pitágoras Teorema tenemos que: $$ \|\ x \|^2 = \|\ \lambda y \|^2 + \|\ x - \lambda y \|^2 $$ Entonces, sustituyendo en lo que la sugerencia se indica que debo de got (que yo no); me hubiera $\lambda = - \overline{ \langle x , y \rangle }$ resultaría en: $$\|\ x \|^{2} = | \lambda |^{2} \|\ y \|^{2} + \|\ x + \lambda y \|^{2} \iff | \langle x,y \rangle |^{2} = \|\ x \|^{2} - d^2 $$ muestra la parte (b).
